高中数学(北师大版)选修2-1教案：第3章-双曲线-第一课时.docx

3.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1．把握双曲线的定义；
2．把握双曲线的标准方程．
学习重难点：
学习重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程
学习难点: 双曲线的标准方程的推导。
学习过程
一、课前预备
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程中，有何关系？若，则写出符合条件的椭圆方程．

二、新课导学
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

如图所示，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，
是常数，这样就画出一条曲线；
由是同一常数，可以画出另一支．

新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离的差的 等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。两定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
反思：设常数为 ，为什么？
时，轨迹是 ；
时，轨迹 ．
试试：点，，若，则点的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
（焦点在轴）其焦点坐标为，．
思考：若焦点在轴，标准方程又如何？

※ 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的确定值等于，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．

例2 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：假如两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

小结：接受这种方法可以确定爆炸点的精确     位置．
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，；
（2）焦点为，且经过点．

练2．点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程推断轨迹的外形．

三、总结提升
1 ．双曲线的定义；
2 ．双曲线的标准方程．
学问拓展
GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．
在例2中，再增设一个观看点，利用，两处测得的点发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点的精确     位置．
当堂检测：
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支
C. 两条射线 D. 一条射线
2．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．双曲线的两焦点分别为，若，则（ ）．
A. 5 B. 13 C. D.
4．已知点，动点满足条件. 则动点的轨迹方程为 ．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围 ．
课后作业
1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过两点，．

2．相距两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速是，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？