江苏省扬州中学2021届高三1月质量检测-数学-Word版含答案.docx

高三数学试卷
2021.1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
开头
结束
n←1
S←S＋2n
n←n＋1
S≥33
输出S
S←1
Y
N
1. 设集合M＝{x|＜0}，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．
2. 复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，假如|z1|＜|z2|，
则实数a的取值范围是_______．
3. 某公司生产三种型号A、B、C的轿车，月产量分
别为1200、6000、2000辆．为检验该公司的产品
质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，
则型号A的轿车应抽取________辆．
4. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，
现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的
概率是__________．
5. 右图是一个算法的流程图，则输出S的值
是________．
6. 设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列
{an}是递增数列”的_________条件．
7. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1∶V2＝________.
8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120º，AB＝AC＝2，
D为BC边上的点，且·＝0，＝2，
则·＝_______.
9. 对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数的取值范围是________．
x
y
F
O
10. 如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆
(a＞b＞0)的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，
则该椭圆的离心率为 ．
11. 已知函数f (x)＝，若a,b,c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，
则a＋b＋c的取值范围为 　　 ．
12. 若函数f (x)＝sin(ωπx－)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是___________．
13. 若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是__________．
14. 定义：若函数f (x)为定义域D上的单调函数，且存在区间(m,n)⊆D(m＜n)，使得当x∈(m,n)时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数f (x)是D上的“正函数”． 已知函数f (x)＝ax (a＞1)为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在△ABC中，A、B、C为三个内角，f (B)＝4sinB·cos2＋cos2B．
（Ⅰ）若f (B)＝2，求角B；
（Ⅱ）若f (B)－m＜2恒成立，求实数m的取值范围．

16. 正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．
17. 如图，某爱好小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．
（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD＝60º，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；
（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．
（图甲）
（图乙）

18. 已知椭圆C：经过点(0,)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；
（3）连接AE、BD，摸索究当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于确定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

19. 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有＋＋＋···＋＝(a1＋a2＋a3＋···＋an)2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝3n＋(－1)n−1·λ·2an (λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn．

20. 已知函数f (x)＝ (m,n∈R)在x＝1处取到极值2．
（1）求f (x)的解析式；
（2）设函数g(x)＝ax－lnx，若对任意的x1∈[, 2]，总存在唯一的x2∈[, e](e为自然对数的底)，使得g(x2)＝f (x1)，求实数a的取值范围．

命题、校对：王喜、蒋红慧
附加题
班级___________ 学号________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
1. 已知矩阵M＝，N＝，且MN＝，
（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；
（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

2. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为＋y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．

A
B
C
C1
B1
A1
F
D

3. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

4. 一种抛硬币玩耍的规章是：抛掷一枚硬币，每次正面对上得1分，反面对上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望E(X )；
（2）求恰好得到n (n∈N*)分的概率．

高三数学试卷参考答案
2021.1
1、(1,2) 2、(－1,1) 3、6 4、 5、63 6、充要
7、 8、1 9、(－∞,) 10、－1 11、(25,34) 12、
13、5＋ 14、(1, e)
15、解：(Ⅰ) f (B)＝4sinBcos2(－)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋1―2sin2B＝2sinB＋1＝2
∴sinB＝ 又∵0＜B＜π ∴B＝或．
(Ⅱ) ∵f (B)－m＜2恒成立∴2sinB＋1－m＜2恒成立 ∴2sinB＜1＋m
∵0＜B＜π，∴2sinB的最大值为2，∴1＋m＞2 ∴m＞1．
16、证明：（1）正方形ABCD中，， 又平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
（2）由于，且，
所以，
又且，，
所以， 又，
所以．
17、解：（1）设与所成夹角为，则与所成夹角为，
对菱形的边长“算两次”得， 解得，
所以，养殖区的面积；（5分）
（2）设与所成夹角为，，
则与所成夹角为 ，
对菱形的边长“算两次”得，解得，
所以，养殖区的面积，
由得，
【要修改为：列表求最值】经检验得，当时，养殖区的面积．
答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．（15分）
18、解：（1）
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)
∵＝l ∴(x1,y1－y0)＝l(1－x1,－y1) ∴l＝，同理，m＝
∴l＋m＝＋＝
∵∴(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝
∴x1＋x2－2x1x2＝－2×＝，
x1x2－x1－x2＋1＝－＋1＝
∴l＋m＝－＝－
（3）当l⊥x轴时，易得AE与BD的交点为FK的中点(,0)
下面证明：BD过定点P(,0)
B、D、P共线ÛkBP＝kDPÛ＝Ûy2＝x2y1－y1Û3y2＝2x2y1－5y1
Û3k(x2－1)＝2x2k(x1－1)－5k(x1－1)Û2kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝0Û2k·－5k·＋8k＝0
Û2k(4k2－12)－40k3＋8k(4k2＋3)＝0成立．得证．
同理，AE过定点P(,0)，∴直线AE与BD相交于确定点(,0)．
【注】：书写可证明：kBP－kDP＝···－···＝·······，证明值为0．
19、证明：(1)在已知式中, 当n＝1时, ＝∵a1＞0∴a1＝1
当n≥2时, ＋＋＋···＋＝(a1＋a2＋···＋an)2···········①
＋＋＋···＋＝(a1＋a2＋···＋an－1)2(n≥2)········②
由①－②得, ＝an[2(a1＋a2＋···＋an－1)＋an] (n≥2) ∵an＞0
∴＝2(a1＋a2＋···＋an－1)＋an(n≥2) ········③
＝2(a1＋a2＋···＋an－2)＋an－1(n≥3) ········④
③－④得, －＝2an－1＋an－an－1＝an－1＋an (n≥3)
∵an－1＋an＞0, ∴an－an－1＝1(n≥3),
∵a1＝1，a2＝2∴a2－a1＝1∴an－an－1＝1(n≥2)
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1, 可得an＝n
（2） ∵an＝n, ∴bn＝3n＋(－1)n−1l·2n
∴bn＋1－bn＝3n+1＋(－1)nl·2n+1－[3n＋(－1)n−1l·2n]＝2·3n－3l(－1)n−1·2n＞0
∴l(－1)n−1＜()n−1········⑤
当n＝2k－1,k＝1,2,3,···时, ⑤式即为l＜()2k−2········⑥
依题意, ⑥式对k＝1,2,3,···都成立, ∴l＜1
当n＝2k,k＝1,2,3,···时, ⑤式即为l＞－()2k−1·········⑦
依题意, ⑦式对k＝1,2,3,···都成立 ∴l＞－
∴－＜l＜1又l≠0, ∴存在整数l＝－1, 使得对任意n∈N*, 都有bn＋1＞bn．
20、解： （1）∵f ¢(x)＝＝∵由f (x)在x＝1处取到极值2，∴
∴＝0，＝2,∴，经检验，此时f (x)在x＝1处取得极值，故f (x)＝
（2）记f (x)在[,2]上的值域为A，函数g(x)在[,e]上的值域为B，
由（1）知：f ¢(x)＝＝ ∴f (x)在[,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，
由f (1)＝2，f (2)＝f ()＝，故f (x)的值域A＝[,2]
依题意g¢(x)＝a－ ∵x∈[,e] ∴≤≤e2
①当a≤时，g¢(x)≤0 ∴g(x)在[,e]上递减 ∴B＝[g(e),g()]，
由题意得：[,2]⊆B．∵g(e)＝ae－1，g()＝a＋2，
∴ ∴ ∵＞ ∴0≤a≤
②当＜a＜e2时，e＞＞ ∴当x∈[,)时，g¢(x)＜0；当x∈(,e]时，g¢(x)＞0；
∵对任意的y1∈[,2]，总存在唯一的x2∈[,e]，使得g(x2)＝y1
∵g(e)－g()＝ae－a－3＝a(e－)－3
∴当＜a＜e2时，g(e)＞g()，∴∴ 无解
当＜a＜时，g(e)＜g() ∴ ∴ ∵＜ ∴＜a＜
当a＝时，g(e)＝g()不成立；
③当a≥e2时，＜ ∴g¢(x)＞0 ∴g(x)在[,e]上递增 ∴B＝[g(), g(e)]
∵[,2]⊆B ∴g(e)≥2，g()≤ ∴ ∴ 无解
综上，0≤a≤
附加题
1、解：（Ⅰ）由题设，＝得，解得；
（Ⅱ）取直线y＝3x上的两点(0,0)、(1,3)，
由＝，＝得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝－x．

2、解：直线l的参数方程为(t为参数)∴x＋2y＝4
设P(2cosθ,sinθ)∴P到l的距离为d＝＝≥＝
当且仅当sin(θ＋)＝1，即θ＝2kπ＋时等号成立．此时，sinθ＝cosθ＝∴P(,)
3、解：（1）由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
由于AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，(,0,0)
从而B(0，0，0)，A(,0,0)，C(0,,0)，B1(0，0，3)，A1 A(,0,3)，C1(0,,3)，D(,,3)，E(0,,)．所以＝(,－,3)，设AF＝x，则F(，0，x)，
＝(,－,x)，＝(,0,x－3) ，＝(,,0)
∴·＝···＝0，所以⊥
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.
由·＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．
（2）由（1）知平面ABC的法向量为m＝(0,0,1).
设平面B1CF的法向量为n＝(x,y,z)，
则由得令z＝1得n＝(,,1)，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos＜m,n＞＝
A
B
C
C1
B1
A1
F
D
x
y
z

x
5
6
7
8
9
10
P

4、解：（1）所抛5次得分x的概率为P(x＝i)＝·()5 (i＝5，6，7，8，9，10)，
其分布列如下：

∴ Ex＝
（2）令Pn表示恰好得到n分的概率. 不毁灭n分的唯一状况是得到n－1分以后再掷出一次反面. 由于“不毁灭n分”的概率是1－Pn，“恰好得到n－1分”的概率是Pn－1，
由于“掷一次毁灭反面”的概率是，所以有1－Pn＝Pn－1，即Pn－＝－( Pn－1－).
于是{Pn－}是以P1－＝－＝－为首项，以－为公比的等比数列.
所以Pn－＝－(－)n−1，即Pn＝[2＋(－)n]. 答：恰好得到n分的概率是[2＋(－)n].