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其次章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2010·宁德四县市一中联考)已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，则(∁RB)∩A等于 ( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
2．下列四个函数中，与y＝x表示同一函数的是 ( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
3．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则 ( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
4．(2010·吉安高三联考)由方程x|x|＋y|y|＝1确定的函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是 ( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
5．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则 ( )
A．k＝0 B．k>0
C．0≤k<1 D．k<0
6．若0<x<y<1，则 ( )
A．3y<3x B．logx3<logy3
C．log4x<log4y D．()x<()y
7．(2011·新乡月考)函数y＝的图象大致是 ( )
8．(2010·天津)若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
9．(2011·张家口模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x1f(x1)>x2f(x2)；
②x1f(x1)<x2f(x2)；
③>；
④<.
其中正确结论的序号是 ( )
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
10．(2010·山西阳泉、大同、晋中5月联考)已知函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是 ( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．(－∞，0]
11．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，( )
A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)
C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)
12．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是 ( )
A．(0，]∪[2，＋∞) B．[，1)∪(1,4]
C．[，1)∪(1,2] D．(0，]∪[4，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知对不同的a值，函数f(x)＝2＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
14．(2011·南京模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则
f(2 011)的值为__________．
15．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．
16．(2011·潍坊模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝()1－x，则
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝()x－3.
其中全部正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2011·合肥模拟)对定义在实数集上的函数f(x)，若存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0为函数f(x)的一个不动点．
(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx－b(a≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a、b；
(2)若对于任意实数b，函数f(x)＝ax2＋bx－b (a≠0)总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
18．(12分)已知f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，当x∈[－1,0]时，函数解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
19．(12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
20．(12分)(2011·银川模拟)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．
21．(12分)经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
22．(12分)(2011·合肥模拟)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，假犹如时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为抱负函数．
(1)若函数f(x)为抱负函数，求f(0)的值；
(2)推断函数f(x)＝2x－1 (x∈[0,1])是否为抱负函数，并予以证明；
(3)若函数f(x)为抱负函数，假定存在x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.
答案 1．B [由2x－x2>0，
得x(x－2)<0⇒0<x<2，
故A＝{x|0<x<2}，由x>0，得2x>1，
故B＝{y|y>1}，∁RB＝{y|y≤1}，
则(∁RB)∩A＝{x|0<x≤1}．]
2．B
3．A [∵log3<log2<log2，∴b>c.
又∵log2<log22＝log33<log3π，
∴a>b，∴a>b>c.]
4．B [
①当x≥0且y≥0时，
x2＋y2＝1，
②当x>0且y<0时，x2－y2＝1，
③当x<0且y>0时，y2－x2＝1，
④当x<0且y<0时，无意义．
由以上争辩作图如右，易知是减函数．]
5．B [令y＝|x|，y＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象，得k>0.]
6．C [∵0<x<y<1，∴由函数的单调性得3x<3y，logx3>logy3，()x>()y，即选项A、B、D错，故选C.]
7．D
8．C [由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类争辩．
f(a)>f(－a)⇒或
⇒或
⇒a>1或－1<a<0.]
9．D [依题意，设f(x)＝xα，则有()α＝，即()α＝()，所以α＝，于是f(x)＝x.
由于函数f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x1<x2时，必有f(x1)<f(x2)，从而有x1f(x1)<x2f(x2)，故②正确；又由于，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，简洁得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故>，所以③正确．]
10．A [∵f(x)的值域为[0，＋∞)，
令t＝4x－2x＋1＋1，
∴t∈(0,1]恰成立，即0<(2x)2－2·2x＋1≤1恰成立，0<(2x－1)2成立，则x≠0，(2x)2－2·2x＋1≤1可化为2x(2x－2)≤0，
∴0≤2x≤2，即0≤x≤1，
综上可知0<x≤1.]
11．D [由于f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又由于f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．]
12．C [将f(x)<化为x2－<ax，利用数形结合，分a>1和0<a<1两种状况求解．
结合图象得或，
解得1<a≤2或≤a<1.]
13．(1,3)
14．－1
解析 由已知得f(－1)＝log22＝1，
f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，
f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，
f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，
f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，
f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，
所以函数f(x)的值以6为周期重复性毁灭，
所以f(2 011)＝f(1)＝－1.
15.
解析 由0≤|log0.5x|≤2解得≤x≤4，
∴[a，b]长度的最大值为4－＝.
16．①②④
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)可得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1－1)＝f(x)，
∴2是函数f(x)的一个周期．
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且x∈[0,1]时，
f(x)＝()1－x，
∴函数f(x)的简图如右图，由简图可知②④也正确．
17．解 (1)∵f(x)的不动点为(1,1)、(－3，－3)，
∴有∴a＝1，b＝3.………………………………………………(4分)
(2)∵函数总有两个相异的不动点，
∴ax2＋(b－1)x－b＝0，Δ>0，
即(b－1)2＋4ab>0对b∈R恒成立，……………………………………………………(7分)
Δ1<0，即(4a－2)2－4<0，………………………………………………………………(9分)
∴0<a<1.…………………………………………………………… …………………(10分)
18．解 (1)∵f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即f(0)＝－＝1－a＝0.
∴a＝1.……………………………………………………………………………………(3分)
设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．
∴f(－x)＝－＝4x－2x.
又∵f(－x)＝－f(x)
∴－f(x)＝4x－2x.
∴f(x)＝2x－4x.……………………………………………………………………………(8分)
(2)当x∈[0,1]，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，
∴设t＝2x(t>0)，则f(t)＝t－t2.
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．
当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.……………………………………………(12分)
19．解 (1)当x<0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.…………………………………………………………………(3分)
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．……………………………………………………………(6分)
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．…………………………………………………………(9分)
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．……………………………………………………(12分)
20．解 (1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上，……………………………………………………………………………(2分)
∴2－y＝－x＋＋2，∴y＝x＋，
即f(x)＝x＋.……………………………………………………………………………(6分)
(2)由题意g(x)＝x＋，
且g(x)＝x＋≥6，x∈(0,2]．
∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，…………………………………………………………(8分)
即a≥－x2＋6x－1.
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，∴a≥7.……………………………………………(12分)
21．解 (1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)
＝……………………………………………………(4分)
(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，
在t＝5时，y取得最大值为1 225；……………………………………………………(8分)
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]，
在t＝20时，y取得最小值为600.
所以第5天，日销售额y取得最大值为1 225元；
第20天，日销售额y取得最小值为600元．………………………………………(12分)
22．(1)解 取x1＝x2＝0，
可得f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0.
又由条件①得f(0)≥0，故f(0)＝0.………………………………………………………(4分)
(2)解 明显f(x)＝2x－1在[0,1]满足条件①f(x)≥0；
也满足条件②f(1)＝1.
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，
则f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故f(x)是抱负函数．………………………………(8分)
(3)证明 由条件③知，任给m、n∈[0,1]，
当m<n时，n－m∈[0,1]，
∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．
若x0<f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，前后冲突．
若x0>f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，前后冲突．
故f(x0)＝x0.……………………………………………………………………………(12分)
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