资源描述
选择、填空题训练(七)
【选题明细表】
学问点、方法
题号
集合与常用规律用语
1、2
平面对量
14、16
不等式
7、10
函数
9、11
三角函数与解三角形
6、13
数列
5、15
立体几何
4、17
解析几何
3、8、12
一、选择题
1.(2022宁波模拟)设集合M=,N=,则M∩N等于( A )
(A)[0,) (B)(-,1]
(C)[-1,) (D)(-,0]
解析:N={x|0≤x≤1},
∴M∩N=[0,).
故选A.
2.(2021浙江五校联考)下列命题是真命题的为( C )
(A)若x=y,则= (B)若x2=1,则x=1
(C)若<,则x<y (D)若x<y,则x2<y2
解析:对于选项A,若x=y=0时不成立,故选项A为假命题;
对选项B,x2=1则x=±1,故选项B为假命题;
对于选项D,若x<y<0,则x2>y2故选项D为假命题,明显选项C为真命题.故选C.
3.(2021合肥模拟)已知k<4,则曲线+=1和+=1有( A )
(A)相同的焦距 (B)相同的焦点
(C)相同的离心率 (D)相同的长轴
解析:当k<4时,9-k>4-k>0,
所以+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.
所以a2=9-k,b2=4-k,
又9-k-(4-k)=9-4=5,
所以两曲线有相同的焦距,
故选A.
4.(2021石家庄模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不行能是该锥体的俯视图的是( C )
解析:若俯视图为选项C,左视图的宽应为俯视图中三角形的高,所以俯视图不行能是选项C.
5.(2022金华十校期末)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4-an(n∈N*),则a5等于( D )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:∵an+1=Sn+1-Sn=4-an+1-(4-an)
∴an+1=an,
又a1=4-a1,
∴a1=2,
∴数列{an}是以2为首项为公比的等比数列,
∴an=2·()n-1=()n-2,
∴a5=()3=.
故选D.
6.(2022浙江省“六市六校”联盟)定义式子运算为=a1a4-a2a3将函数f(x)=的图象向左平移n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:f(x)=
=cos x-sin x
=-2sin(x-)
=-2cos（-x）
=-2cos（x-）,
f(x)=-2cos（x-）向左平移个单位为f(x)=-2cos x.
故选C.
7.(2022高考广东卷)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n等于( B )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:依据所给约束条件画出可行域,如图.
z=2x+y的最大值与最小值,
即是直线y=-2x+z截距的最大值与最小值.
在可行域中画出与y=-2x平行的一组直线,
当此直线经过直线x+y=1与y=-1的交点(2,-1)时z最大,
z的最大值为3.
同理可知最小值为-3.所以m-n=6.故选B.
8.(2022台州一模)在平面上给定边长为1的正三角形OAB动点C满足=λ+μ,且λ2+λμ+μ2=1,则点C的轨迹是( B )
(A)线段 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线
解析:由题意知||=||=1,
·=||||cos 60°=,
所以||2=(λ+μ)2
=λ2+μ2+λμ
=λ2+μ2+λμ
=1.
因此||=1.
所以点C的轨迹为以O为圆心1为半径的圆,故选B.
9.(2022温州二模)已知函数f(x)=若对任意的a∈(-3,+∞),关于x的方程f(x)=kx都有3个不同的根,则k等于( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由任意a∈(-3,+∞),f(x)=kx都有3个不同根,不妨取a=0,则函数f(x)图象如图.
若f(x)=kx有3个不同根,
则≤k<4,结合选项知C符合.
故选C.
10.(2021高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=若| f(x)|≥ax,则a的取值范围是( D )
(A)(-∞,0] (B)(-∞,1]
(C)[-2,1] (D)[-2,0]
解析:当x≤0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,
所以|f(x)|≥ax,
即为x2-2x≥ax.
当x≤0时,
所以a≥x-2,
即a≥-2验证知a≥-2时,|f(x)|≥ax(x≤0)恒成立.
当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,
所以|f(x)|≥ax化简为ln(x+1)>ax恒成立,
由函数图象可知a≤0,
综上,当-2≤a≤0时,不等式|f(x)|≥ax恒成立.
故选D.
二、填空题
11.(2021海宁市高三模拟)已知函数f(x)=则f（f（））的值是 .
解析:∵f（）=log2=-1,
∴f（f（））=f(-1)=3-1+1=.
答案:
12.(2022宁波二模)已知抛物线x2=3y上两点A,B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根,则直线AB的方程是 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-5,
kAB=
=
=(x1+x2)
=-,
设直线AB的方程为y=-x+m,
由
得x2+5x-3m=0与x2+5x+1=0同解,
因此m=-,
于是直线AB的方程为
y=-x-,
即5x+3y+1=0.
答案:5x+3y+1=0
13.(2021杭州模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.已知角A为锐角,且b=3asin B,则tan A= .
解析:由b=3asin B及正弦定理得sin B=3sin Asin B,
由于sin B≠0,
所以sin A=,
又由于A为锐角,
所以cos A=,
从而tan A=.
答案:
14.(2022温州期末)已知向量a,b,满足|a|=1,(a+b)·(a-2b)=0,则|b|的最小值为 .
解析:由题意得1-2|b|2-a·b=0,且b≠0,
设a,b的夹角为θ,
则cos θ=,
由-1≤cos θ≤1,
得
解得≤|b|≤1.
答案:
15.(2021宁波高三二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3≤3,S4≥4,S5≤10,则a6的最大值是 .
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由S3≤3,得3a1+3d≤3,
即a1≤1-d, ①
由S4≥4,得4a1+6d≥4,
即a1≥1-d, ②
由S5≤10,得5a1+10d≤10,
即a1≤2-2d, ③
由①②得1-d≤1-d,
∴d≥0.
由②③得1-d≤2-2d,
∴d≤2.
又S4≥4,S5≤10,
∴a5≤6.
而d≤2,
∴a6≤8.
所以a6的最大值为8.
答案:8
16.(2021浙江杭州重点高中参赛卷)如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,=x+y,则x+y= .
解析:如图,过C作CE⊥OB于E,易得E为OB的中点.
连OD,OC,
易知=.
=+
=+
=-+,
∴=+
=++
=-++（-+）
=-（1+）+（1+）.
又∵=x+y,
∴x+y=1++[-（1+）]
=-
=-.
答案:-
17.(2021江南十校联考)已知△ABC的三边长分别为AB=5,
BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.给出下列四个命题:
①若PA⊥平面ABC,则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形;
②若PM⊥平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC;
③若PC=5,PC⊥平面ABC,则△PCM面积的最小值为;
④若PC=5,P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
解析:由题知AC⊥BC,对于①,若PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,又PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC,
因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形,①正确;
对于②,由已知得M为△ABC的外心,
所以MA=MB=MC.
由于PM⊥平面ABC,
则PM⊥MA,PM⊥MB,PM⊥MC,
由三角形全等可知PA=PB=PC,故②正确;
对于③,要使△PCM的面积最小,只需CM最短,
在Rt△ABC中,(CM)min=,
∴(S△PCM)min=××5=6,故③错误;
对于④,设P点在平面ABC内的射影为O,
且O为△ABC的内心,
由平面几何学问得内切圆半径为r=1,
且OC=,
在Rt△POC中,PO==,
∴点P到平面ABC的距离为,故④正确.
答案:①②④
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