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双基限时练(五)
1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝cosxn
B．y＝t，t＝cosnx
C．y＝tn，t＝cosx
D．y＝cost，t＝xn
答案 C
2．下列函数在x＝0处没有切线的是( )
A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinx
C．y＝＋2x D．y＝
解析 由于y＝＋2x在x＝0处没意义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．
答案 C
3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析 设切点为(x0，x)，则斜率k＝2x0＝2，
∴x0＝1，∴切点为(1,1)．
故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案 D
4．y＝loga(2x2－1)的导数是( )
A. B.
C. D.
解析 y′＝(2x2－1)′＝.
答案 A
5．已知函数f(x)＝，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．a＝1 B．a＝2
C．a＝ D．a>0
解析 f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′＝·2ax＝.
由f′(1)＝2，得＝2，∴a＝2.
答案 B
6．曲线y＝ sin2x在点M(π，0)处的切线方程是________．
解析 y′＝(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，
∴k＝y′|x＝π＝2.
又过点(π，0)，所以切线方程为y＝2(x－π)．
答案 y＝2(x－π)
7．f(x)＝e2x－2x，则＝________.
解析 f′(x)＝(e2x)′－(2x)′＝2e2x－2＝2(e2x－1)．
∴＝＝2(ex＋1)．
答案 2(ex＋1)
8．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
解析 ∵f′(x)＝，∴f′(1)＝.
答案
9．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．
解 ∵函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，
∴得a＝－8,4b＋c＝0，
∴f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8.
又当x＝2时，f′(2)＝16，g′(2)＝4b，
∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16.
∴a＝－8，b＝4，c＝－16.
10．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解 ∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2xsin3x，
∴y′|x＝0＝2.∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
依题意，可设l的方程为2x－y＋b＝0，则＝.解得b＝6或b＝－4.
∴直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
11．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．
解 ∵f(x)＝lnx，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝1，
即直线l的斜率为1，切点为(1,0)．
∴直线l的方程为y＝x－1.
又l与g(x)的图象也相切，等价于方程组只有一解，即方程x2－x＋1＋a＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝1－4×(1＋a)＝0，∴a＝－.
12．已知曲线y＝5.
(1)求该曲线与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
解 (1)设切点为(x0，y0)，由y＝5，
得y′＝，∴y′|x＝x0＝.
∵切线与直线y＝2x－4平行，∴＝2，
∴x0＝，∴y0＝.
故所求的切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋25＝0.
(2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5上，故设切点为M(m，n)，则切线的斜率为.
又∵切线的斜率，∴＝＝，
∴m－2＝0.解得m＝4或m＝0(舍去)．
∴切点M(4,10)，切线的斜率为.
故切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.
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