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3.1.3 导数的几何意义
课时目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.依据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了
________________________________________．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
3．假如把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.
一、选择题
1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )
A．2 B．4
C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6
2．假如曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( )
A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0
C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在
3．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么 ( )
A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0
C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定
5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是 ( )
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
三、解答题
10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．
11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
力气提升
12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．
13．在曲线E：y＝x2上求出满足下列条件的点P的坐标．
(1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y＝4x－5；
(2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即
k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区分，但又有亲热关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要留意已知点是否在曲线上．假如已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
3．1.3 导数的几何意义
答案
学问梳理
1．f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 函数f(x)在x＝x0四周的变化状况
3．导函数 导数
作业设计
1．D [∵y＝2x3，
∴y′＝ ＝
＝
＝ [2(Δx)2＋6xΔx＋6x2]＝6x2.
∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]
2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，
所以k＝f′(2)＝＝＝>0.]
3．C [f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．]
4．B [2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，
由导数的几何意义知，h′(a)＝－2<0.]
5．B [曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，切线与x轴平行或重合．]
6．B [依据导数的几何意义，在x∈[2,3]时，
曲线上x＝2处切线斜率最大，
k＝＝f(3)－f(2)>f′(3)．]
7．－1
解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1.
8．2x－y＋4＝0
解析 由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx2＋2Δx，
∴y′＝ ＝2.
∴所求直线的斜率k＝2.
则直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
9．2
解析 ∵点P在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，
又∵f′(5)＝k＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
10．解 设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x.
因y′＝＝＝2x.
∴k＝y′|x＝x0＝2x0.
因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
将点(1，－3)代入，得：－3－x＝2x0－2x，
∴x－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3.
当x0＝－1时，k＝－2；当x0＝3时，k＝6.
∴所求直线的斜率为－2或6.
11．解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.
∴f′(x0)＝32－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.解得a＝±3.
又a<0，∴a＝－3.
12．解 f′(x) ＝
＝ (a·Δx＋2ax＋b)＝2ax＋b.
由已知可得，解得a＝－4，b＝12.
13．解 f′(x) ＝
＝ ＝2x，
设P(x0，y0)为所求的点，
(1)由于切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
(2)由于切线与x轴成135°的倾斜角，
所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
得x0＝－，即y0＝，即P.
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