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课时提升作业(十二)
二次函数的性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像的顶点为(4,0),且过点(0,2),则abc等于
( )
A.-6 B.11 C.-14 D.14
【解析】选C.由题意知,-b2a=4,4ac-b24a=0,c=2,解之得a=18,b=-1,c=2,所以abc=18×(-1)×2=-14.
2.(2022·西安高一检测)函数f(x)=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增加的,在
[-1,+∞)上是削减的,则( )
A.b>0且a<0 B.b=2a<0
C.b=2a>0 D.a,b的符号不定
【解析】选B.由题意知,a<0且-b2a=-1,所以b=2a<0.
【举一反三】若把本题改为“二次函数f(x)=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增加的,则a,b满足的条件有 .”
【解析】由题意知a<0,-b2a≥-1,即b≥2a.
答案：a<0,b≥2a
3.函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是削减的,则a的取值范围是
( )
A.[-3,0] B.(-∞,-3]
C.[-3,0) D.[-2,0]
【解析】选A.(1)当a=0时,明显正确.
(2)当a≠0时,f(x)=ax2+2(a-3)x+1在(-2,+∞)上是削减的,应满足a<0,-2(a-3)2a≤-2,
解得-3≤a<0.
由(1)(2)可知,a的取值范围是[-3,0].
【误区警示】本题易忽视a=0这种状况.
【变式训练】假如函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是削减的,那么实数a的取值范围是( )
A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥5
【解析】选A.函数f(x)的对称轴方程为x=-2(a-1)2×1=1-a,要使函数f(x)在区间
(-∞,4]上是削减的,必需1-a≥4,
所以a≤-3.
4.(2022·宜春高一检测)函数y=-x2-6x-5的值域为( )
A.[0,2] B.[0,4]
C.(-∞,4] D.[0,+∞)
【解析】选A.由于y=-x2-6x-5=
-(x+3)2+4≤4=2,
所以y∈[0,2].
5.已知函数f(x) =x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,2]
C.[1,2] D.(-∞,2]
【解题指南】画出y=f(x)=x2-2x+3的草图,结合图像求解.
【解析】选C.由于二次函数的解析式已确定,而区间的左端点也确定,故要使函数在区间[0,m]上有最大值为3,最小值为2,只有画出草图来观看,如图所示.
由于f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
f(0)=3,f(1)=2,且f(2)=3.
可知只有当m∈[1,2]时,才能满足题目的要求.
6.(2022·襄阳高一检测)生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会准时停产,现有一生产季节性产品的企业,一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36,那么该企业一年中应停产的月份是( )
A.1月,2月 B.1月,2月,3月
C.3月,12月 D.1月,2月,3月,12月
【解析】选D.令y=0,则-n2+15n-36=0,
所以n2-15n+36=0,
所以(n-3)(n-12)=0,
所以n1=3,n2=12,
由于a=-1<0,
所以抛物线开口向下,
所以n=1和n=2时,y<0,
所以该企业一年中应停产的月份是1月,2月,3月,12月.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·宝鸡高一检测)若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1和f2(x)=a2x2+b2x+c2,使得f1(x)+f2(x)在R上是增函数的条件是 .
【解析】f1(x)+f2(x)=(a1+a2)x2+(b1+b2)x+c1+c2.
由于f1(x)+f2(x)在R上是增函数,
所以a1+a2=0,b1+b2>0.
答案：a1+a2=0,b1+b2>0
8.(2022·亳州高一检测)已知函数y=2x2+ax-1在区间(0,4)上不单调,则实数a的取值范围为 .
【解析】由于y=2x2+ax-1,所以此函数对称轴为x=-a4,
要使y=2x2+ax-1在(0,4)上不单调,
所以0<-a4<4,即-16<a<0.
答案：(-16,0)
【举一反三】若把条件改为“在(0, 4)上单调”,结果又如何?
【解析】方法一：取上题的解集的补集,所以a∈(-∞,-16]∪[0,+∞).
方法二：-a4≥4或-a4≤0,即a≤-16或a≥0.
9.函数y=x2+ax+3(0<a<2)在[-1,1]上的最大值是 ,最小值是 .
【解析】函数y=x2+ax+3的对称轴方程为x=-a2,
由于0<a<2,所以-1<-a2<0,
所以f(x)max=f(1)=4+a,
f(x)min=f(-a2)=3-a24.
答案：4+a 3-a24
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2022·惠州高一检测)已知函数f(x)=x2+4ax+2a+6.
(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a的值.
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是增加的,求a的取值范围.
【解析】(1)由于函数的值域为[0,+∞),
所以Δ=16a2-4(2a+6)=0,
即2a2-a-3=0,
所以a=-1或a=32.
(2)函数f(x)=x2+4ax+2a+6在[-2a,+∞)上是增加的,要使函数f(x)在[2,+∞)上是增加的,只需-2a≤2,所以a≥-1.故a的取值范围是[-1,+∞).
11.(2022·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=-x2+2ax-1,若f(x)在[-1,1]上的最大值为g(a),求g(a)的解析式.
【解析】f(x)=-(x-a)2+a2-1,
(1)当a≤-1时,f(x)在[-1,1]上是削减的,
所以f(x)max=f(-1)=-2a-2.
(2)当-1<a<1时,f(x)在[-1,a]上是增加的,在(a,1]上是削减的,
所以f(x)max=f(a)=a2-1.
(3)当a≥1时,f(x)在[-1,1]上是增加的,
所以f(x)max=f(1)=2a-2,
所以g(a) =-2a-2,a≤-1,a2-1,-1<a<1,2a-2,a≥1.
【拓展延长】二次函数在定区间上的最值
二次函数在给定区间上的图像是一段抛物线弧.当所给区间上的抛物线弧段不含抛物线顶点,即在给定区间上单调时,它的最值分别在抛物线弧段的两个端点处取得;当所给区间上的抛物线弧段含抛物线顶点时,它的最值分别在抛物线的顶点及抛物线弧段的两个端点之一取得.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·惠州高一检测)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为
( )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
【解析】选A.由于y=x2-2x,x∈{0,1,2,3},所以y∈{0,-1,3}.
2.(2022·南昌高一检测)对于函数f(x)=-3x2+k,当实数k属于下列选项中的哪一个区间时,才能确保确定存在实数对a,b(a<b<0),使得当函数f(x)的定义域为[a,b]时,其值域也恰好是[a,b]( )
A.[-2,0) B.-2,-112
C.-112,+∞ D.-112,0
【解题指南】争辩y=f(x)在[a,b]上的单调性,可知f(a)=a,f(b)=b,即-3x2+k=x有2个负根.
【解析】选D.由于f(x)=-3x2+k,x∈[a,b](a<b<0),
所以f(x)在[a,b]上单调递增.
所以f(a)=a,f(b)=b,即-3x2+k=x有2个负根.
所以3x2+x-k=0.
所以Δ>0,x1+x2=-13<0,x1x2=-k3>0,
所以-112<k<0.
【变式训练】(2022·济宁高一检测)若函数f(x)=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则m的取值范围是 .
【解析】f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6,
令f(x)=-2,则x=0或x=4.
如图,所以m∈[2,4].
答案：[2,4]
3.(2022·武汉高一检测)如图,有始终角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0<a<12)、4米,不考虑树的粗细.现在想用16米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S平方米,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图像大致是( )
【解析】选C.由题意设BC为x,则S=x·(16-x).
其中：a≤x,16-x≥4,所以a≤x≤12.
所以S=-x2+16x
=-(x-8)2+64,x∈[a,12],
当a≤8时,u=f(8)=64.
当a>8时,u=f(a)=-(a-8)2+64=-a2+16a,
所以u=f(a)=64,0<a≤8,-a2+16a,8<a<12.
4.已知函数f(x)=ax2+2(a-2)x+a-4,当x∈(-1,1)时,恒有f(x)<0,则a的取值范围为( )
A.a≤2 B.a<2 C.0<a<2 D.a<2且a≠0
【解析】选A.当a=0时,f(x)=-4x-4,
则此时f(x)是减函数,且f(-1)=0,
则当x∈(-1,1)时,恒有f(x)<f(-1)=0,
即a=0符合题意,排解C,D;
当a=2时,f(x)=2x2-2,
由于x∈(-1,1),
则有f(x)=2x2-2<f(-1)=f(1)=0.
即a=2符合题意,排解B,故选A.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.当m∈ 时,函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方.
【解题指南】解决本题首先要考虑函数是不是二次函数,假如是二次函数,图像总在x轴下方,即图像开口向下,最高点在x轴下方或图像开口向下,且图像与x轴无交点.
【解析】(1)当m-2=0,即m=2时,f(x)=-7,符合题意.
(2)当m-2≠0时,f(x)为二次函数.
函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方,则函数图像开口向下,且最高点(顶点)在x轴下方,有m-2<0,-3-2m<0,
解得-32<m<2.
综合(1)(2)知m∈-32,2.
6.(2022·延安高一检测)若函数f(x)=x2-2x+m在区间[2,+∞)上的最小值为-3,则实数m的值为 .
【解析】由于f(x)=x2-2x+m
=(x-1)2+m-1,
所以f(x)=x2-2x+m在区间[2,+∞)上是增加的,
所以f(x)min=f(2)=m=-3.
答案：-3
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·郑州高一检测)正在建设中的郑州地铁一号线,将有效缓解市内东西方向交通的压力.依据测算,假如一列车每次拖4节车厢,每天能来回16次;假如每次拖7节车厢,则每天能来回10次;每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数,每节车厢单向一次最多能载客110人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使该列车每天营运人数最多?并求出每天最多的营运人数.(注：营运人数指列车运送的人数).
【解析】设该列车每天来回次数为t,每次拖挂车厢数为n,每天营运人数为y.由已知可设t=kn+b,则依据条件得
16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,所以t=-2n+24.
所以y=tn×110×2=440(-n2+12n);
所以当n=6时,y最大=15840.
即每次应拖挂6节车厢,才能使该列车每天的营运人数最多,最多为15840人.
【变式训练】渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必需留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率(1-实际养殖量最大养殖量)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并求出定义域.
(2)求鱼群的年增长量的最大值.
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k所应满足的条件.
【解析】(1)由题意知,空闲率为1-xm,
所以y=kx1-xm(0<x<m).
(2)y=-kmx2+kx=-kmx-m22+km4,
由于-km<0且0<x<m,
所以当x=m2时,ymax=km4.
(3)由于当x=m2时,ymax=km4,
又实际养殖量不能达到最大养殖量,
所以此时需要m2+km4<m,解得k<2.
又由于k>0,所以0<k<2.
8.(2022·重庆高一检测)已知函数f(x)=x2-x+a+1
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
(2)若f(x)在区间[a,a+1]上是单调函数,求a的取值范围.
【解析】由于f(x)=x2-x+a+1=x-122+a+34,所以f(x)min=a+34.
(1)若f(x)≥0对一切x∈R恒成立,
所以a+34≥0,所以a≥-34.
(2)f(x)在区间[a,a+1]上是单调函数,
所以a≥12或a+1≤12,
即a≥12或a≤-12.
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