2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第3篇-第6讲-正弦定理和余弦定理.docx

第6讲　正弦定理和余弦定理
[最新考纲]
把握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题．

知 识 梳 理

1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
解决的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的状况

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
辨 析 感 悟
1．三角形中关系的推断
(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B. (×)
(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝60°或120°. (√)
2．解三角形
(3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝. (√)
(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝，则b＝6. (√)
3．三角形外形的推断
(5)在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形． (√)
(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形． (×)
[感悟·提升]
1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，如(1)．
2．推断三角形外形的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
同学用书第63页

考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2021·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)(2022·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sin C＝______.
解析　(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝sin B，
∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0.
∴sin A＝.又∵△ABC为锐角三角形，
∴A∈，∴A＝.
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，即b＝5.
所以sin C＝＝＝.
答案　(1)A　(2)
规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常依据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行推断．
【训练1】 (1)在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝
(　　)．
A．30° B．45° C．45°或135° D．60°
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝ (　　)．
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析　(1)由正弦定理，得＝，
解得：sin C＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.
(2)∵sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，
∴cos A＝＝＝＝，
又A为三角形的内角，∴A＝30°.
答案　(1)B　(2)A
考点二　推断三角形的外形
【例2】 (2022·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝，试推断△ABC的外形．
解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.
(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.
由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，
∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝.
∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.
∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.
∴B＋30°＝90°，B＝60°.
∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．
规律方法 解决推断三角形的外形问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要留意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
【训练2】 (1)(2021·山东省试验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是 (　　)．
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC的外形是 (　　)．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
解析　(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝＝－＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．
(2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
即b2sin Acos B＝a2cos Asin B，
即sin2 Bsin Acos B＝sin2 Acos Asin B，
所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角，
故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.
故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案　(1)A　(2)D
考点三　与三角形面积有关的问题
【例3】 (2021·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
审题路线　(1)a＝bcos C＋csin Bsin A＝…⇒sin(B＋C)＝…⇒求出角B.
(2)由⇒得出a2与c2的关系式⇒利用基本不等式求ac的最大值即可．
解　(1)由已知及正弦定理，
得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理，得
4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，
故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
规律方法 在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，由于公式中既有边又有角，简洁和正弦定理、余弦定理联系起来.
同学用书第64页
【训练3】 (2021·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值．
解　(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)由S＝ bcsin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.
又b＝5，所以c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，
故a＝.
又由正弦定理，得sin Bsin C＝sin A·sin A
＝sin2A＝×＝.

1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要留意依据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止消灭增解或漏解．
2．正、余弦定理在应用时，应留意机敏性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答题模板6——解三角形问题
【典例】 (12分)(2021·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
[规范解答]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，
所以ac＝9，解得a＝3，c＝3， (6分)
(2)在△ABC中，
sin B＝＝， (7分)
由正弦定理得sin A＝＝. (9分)
由于a＝c，所以A为锐角，
所以cos A＝＝. (10分)
因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝. (12分)
[反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若消灭边的一次式一般接受到正弦定理，消灭边的二次式一般接受到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围．
(2)在本题第(2)问中，不会推断角A为锐角，易造成求错cos A，导致sin(A－B)的结果出错．
答题模板　第一步：定已知．即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；
其次步：选定理．即依据已知的边角关系机敏地选用定
理和公式；
第三步：代入求值．
【自主体验】
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
解　(1)由c＝asin C－ccos A及正弦定理，得
sin Asin C－cos A·sin C－sin C＝0，
由于sin C≠0，所以sin＝，
又0<A<π，所以－<A－<，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2021·绍兴模拟)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析　由a2－c2＋b2＝ab，得cos C＝＝＝，所以C＝30°.
答案　A
2．(2022·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)．
A. B. C．2 D．2
解析　S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案　B
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)．
A．2＋2 B.＋1 C．2－2 D.－1
解析　由正弦定理＝及已知条件得c＝2，
又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.
从而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
答案　B
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)．
A．2 B．2 C. D．1
解析　由＝，得＝，所以＝，故cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，B＝，C＝，c＝＝＝2.
答案　B
5．(2021·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的外形为(　　)．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析　由正弦定理及已知条件可知sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2 A，即sin(B＋C)＝sin2 A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin2 A＝sin A，又0＜A＜π，sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.
答案　A
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
解析　由题意知，sin B＋cos B＝，所以sin＝，所以B＝，依据正弦定理可知＝，可得＝，所以sin A＝，又a＜b，故A＝.
答案　
7．(2022·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
解析　由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
答案　或
8．(2021·烟台一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，则sin B等于________．
解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝×＝(或者由于c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)．
答案　
三、解答题
9．(2022·宜山质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝c＋bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．
解　(1)由正弦定理，得sin A＝sin C＋sin Bcos C，
又由于A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)，
可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin C＋sin Bcos C，
即cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由于S△ABC＝，所以acsin＝，所以ac＝4，
由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，
所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5.
10．(2021·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解　(1)由于a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又由于∠B＝2∠A，
所以cos B＝2cos2A－1＝，所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2022·温岭中学模拟)在锐角△ABC中，若BC＝2，sin A＝，则·的最大值为(　　)．
A. B. C．1 D．3
解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×＝4，由基本不等式可得4≥bc，即bc≤3，所以·＝bccos A＝bc≤1.
答案　C
2．(2021·青岛一中调研)在△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的外形为(　　)．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上均有可能
解析　由题意可知c＞a，c＞b，即角C最大，
所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即
c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.依据余弦定理，得cos C＝＞0，所以0＜C＜，即三角形为锐角三角形．
答案　A
二、填空题
3．(2021·浙江卷)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
解析　如图，令∠BAM＝β，∠BAC＝α，故|CM|＝|AM|sin(α－β)，
∵M为BC的中点，∴|BM|＝|AM|sin(α－β)．在△AMB中，由正弦定理知，

＝，
即＝，
∵sin β＝，∴cos β＝，
∴＝cos α·
＝sin αcos α－cos2α，
整理得1＝2sin αcos α－cos2α，
所以＝1，
解得tan α＝，故sin α＝.
答案　
三、解答题
4．(2021·长沙模拟)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B.
(1)求cos B；
(2)若·＝4，b＝4，求边a，c的值．
解　(1)由正弦定理和bcos C＝(3a－c)cos B，
得sin Bcos C＝(3sin A－sin C)cos B，
化简，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B，
即sin(B＋C)＝3sin Acos B，
故sin A＝3sin Acos B，所以cos B＝.
(2)由于·＝4，所以·＝||·||·
cos B＝4，所以||·||＝12，即ac＝12.①
又由于cos B＝＝，整理得，a2＋c2＝40.②
联立①②解得或
同学用书第65页