高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章-拓展资料：数系扩充性质裁减.docx

数系扩充 性质裁减
随着数系的扩充，我们的学习进入了一个全新的领域，原来在实数中一些格外“风光”的性质或结论不再成立，不但性质没有扩充，反而“裁减”．假如解题时不留意对比分析，往往会毁灭错误．
一、性质|x|＝±x，对虚数x不再成立
例1 在复数范围内，方程的解的个数为（　　）．
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
错解：由，得，
那么，或，从而或，选（B）．
剖析：在实数中我们经常用到，有时由于这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的．还有及|a|＝±a及 a2＋b2＝0a＝0，b＝0，这此结论在虚数中也是不成立的．
正解：设，那么原方程即为，得　
故或或
所以正确答案为（C）．
二、性质(m、n∈Q)，对虚数a不再适用
例2 求值．
错解：∵ ，
则＝1．
剖析：在复数集中，仅对有．此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集．
正解：
＝
＝1×＝－－i．
例3 化简复数．
错解：由，选（A）．
剖析：在复数集中，仅对有．此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集．
　正解：由于，
则．
三、虚系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈C)有实根的充要条件，不再是b2－4ac≥0．
例4 关于的方程有实根，求实数的范围。
错解：程有实根

剖析：判别式只能用来判定实系数一元二次方根的虚实，而该方程式中并非实数．此类题应先设出实根，再由复数相等的充要条件建立方程组求得．
正解：设是其实根，代入原方程变形为
，解得a＝±1．．
四、对于实数a、b则必有a＞b，a＝b，a＜b三者之一成立．若a、b是虚数，则不再有此结论，也就是不能比较大小
例5求满足条件－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i的实数a，b的取值范围．
错解：由已知，得，解得a＞－3，b＜2．
剖析：想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，假如不全是实数，则不能比较大小．所以遇到复数比较大小问题,可以确定该复数必定是实数．
正解：由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，得a＋3＋(－3b＋6)i＞0，
所以，解得a＞－3，b＝2．