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专题二 函数与导数
第1讲 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)
1．(仿2021·江西，2)函数y＝ 的定义域是________．
解析 ∵⇔⇔⇔⇔－≤x＜－1或1＜x≤.
∴y＝的定义域为[－，－1)∪(1，]．
答案 [－，－1)∪(1，]
2．(仿2021·山东，3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)．
当x＝2时，f(2)＝22－3＝1，∴f(－2)＝－1.
答案 －1
3．(仿2021·四川，7)下列四个图象可以作为函数y＝(0＜a＜1)的图象的是________．
解析 函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝当x＞0时，函数是一个指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝ax(x＜0)的图象关于x轴对称，函数递增，所以应选④.
答案 ④
4．(仿2011·天津，8)直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，即方程x2＋4x＋2＝x(x≤m)与x＝2(x＞m)共有三个根．
∵x2＋4x＋2＝x的解为x1＝－2，x2＝－1，
∴－1≤m＜2时满足条件．
答案 [－1,2)
5．(仿2022·辽宁，11)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．
解析 f(x)＝x2－3x＋4为开口向上的抛物线，g(x)＝2x＋m是斜率k＝2的直线，可先求出g(x)＝2x＋m与f(x)＝x2－3x＋4相切时的m值．
由f′(x)＝2x－3＝2得切点为，此时m＝－，
因此f(x)＝x2－3x＋4的图象与g(x)＝2x＋m的图象有两个交点只需将g(x)＝2x－向上平移即可．
再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f(x)＝x2－3x＋4图象上最右边的点，此时m＝－2，所以m∈.
答案
6．(仿2011·北京，13)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
解析 画出函数f(x)图象如图．
要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈.
答案
7．(仿2022·天津，14)若函数f(x)＝的图象如图，则m的取值范围是________．
解析 ∵函数f(x)的定义域为R，∴x2＋m恒不等于零，∴m＞0.由题图知，当x＞0时，f(x)＞0，∴2－m＞0⇒m＜2.
又∵在(0，＋∞)上函数f(x)在x＝x0(x0＞1)处取得最大值，而f(x)＝，∴x0＝＞1⇒m＞1.综上，1＜m＜2.
答案 (1,2)
8．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：
(1)函数f(x)是周期函数；
(2)函数f(x)的图象关于点对称；
(3)函数f(x)为R上的偶函数；
(4)函数f(x)为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)
解析 由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，(1)为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于点对称，
(2)为真命题；又y＝f为奇函数，所以f＝－f，f＝－f＝－f(－x)，∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数，不行能为R上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．
答案 (1)(2)(3)
9．(仿2021·新课标，19)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
(2)若供应饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优待(即原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优待条件？请说明理由．
解 (1)设该厂x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.
∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，
∴x天饲料的保管费与其他费用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，
即x＝10时，y1有最小值．
故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)设该厂利用此优待条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．
令f(x)＝＋3x(x≥25)，
∵f′(x)＝－＋3，
∴当x≥25时，f′(x)＞0；
当x≥25时，函数f(x)与y2是增函数．
∴当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.
∵390＜417，∴该厂应考虑利用此优待条件．
10．(仿2022·江苏，13)已知函数f(x)＝x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m、n同时满足下列条件：
①m＞n＞3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
解 (1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝x∈.
设t＝x，t∈，
则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a＜时，ymin＝h(a)＝φ＝－；
当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a＞3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
∴h(a)＝
(2)假设满足题意的m、n存在，
∵m＞n＞3，
∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数．
∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，
∴
由②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，
∵m＞n＞3，∴m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”冲突，∴满足题意的m、n不存在．
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