2021高考数学(文理通用)一轮课时作业46-抛物线.docx

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课时提升作业(四十六)
抛　物　线
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=(　　)
A.1 B.4 C.8 D.16
【解析】选C.依据抛物线方程可得其焦点坐标为0,a4,双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有a4=2,解得a=8.
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离
是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】选B.由于点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时确定要留意.
3.(2022·台州模拟)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是(　　)
A.12,14 B.(1,1)
C.32,94 D.(2,4)
【解析】选B.设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得
d=|2x-y-4|5=|2x-x2-4|5=|(x-1)2+3|5
=(x-1)2+35≥35.
当x=1时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1).
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设2x-y+m=0与y=x2相切,则x2-2x-m=0.
Δ=4+4m=0,所以m=-1,此时x=1,
所以点的坐标为(1,1).
4.(2022·成都模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2-y2=1(a>0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为(　　)
A.3 B.6 C.2 D.3
【解析】选B.

如图所示,F(1,0).
由于△FAB为直角三角形,
所以|AM|=|FM|=2,
所以A(-1,2),代入x2a2-y2=1,得a2=15,
所以c2=a2+1=15+1=65,
所以e2=c2a2=6,所以e=6.
5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-p2,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,
两式相减得:kAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2=p2=1,
所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要留意使用条件是Δ≥0.
(2)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-b2x0a2y0.
(3)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=b2x0a2y0.
(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=py0.
6.(2021·天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p=(　　)
A.1 B.32 C.2 D.3
【解析】选C.双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=2,
解得ba=3,联立y=-bax,x=-p2,得y=bp2a.
又由于S△OAB=p2×bp2a=3,
将ba=3代入解得p=2.
7.(2021·金华模拟)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A.355 B.2 C.115 D.3
【解析】选B.由于抛物线的方程为y2=4x,所以焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1.所以设P到准线的距离为|PB|,则|PB|=|PF|.P到直线l1:4x-3y+6=0的距离为|PA|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PF|≥|FD|,其中|FD|为焦点到直线4x-3y+6=0的距离,所以|FD|=4-0+632+42=105=2,所以距离之和最小值是2.

【加固训练】
已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是　　　　.
【解析】由抛物线的定义知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,如图,过焦点F作直线x+2y+10=0的垂线,此时d1+d2最小,由于F(1,0),所以d1+d2=|1+10|12+22=1155.
答案:1155
8.(力气挑战题)(2022·绍兴模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上一点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1,则点A的坐标为(　　)
A.(1,±2) B.12,±2
C.(4,±1) D.(2,±22)
【解析】选D.设A(x,y),如图,依题意知:
S△AMF=12|AM|·|y|,
S△AOF=12|OF|·|y|,
又S△AMF∶S△AOF=3∶1,
且|OF|=1,所以|AM|=3,
故A的横坐标为2,代入抛物线y2=4x得y2=8,
所以y=±22,故A的坐标为(2,±22).
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·北京高考)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=　　　　;准线方程为　　　　.
【解析】由于抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),所以p2=1,解得p=2,所以准线方程为x=-1.
答案:2　x=-1
10.抛物线y=116x2的焦点与双曲线y23-x2m=1的上焦点重合,则m=　　　　.
【解析】由于抛物线y=116x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又由于双曲线y23-x2m=1的上焦点坐标为(0,3+m),依题意有4=3+m,解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易毁灭y=116x2的焦点为0,164的错误,缘由是对抛物线的标准方程记忆不精确.
11.(2022·杭州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AM|=54|AF|,则k的值为　　　　　.
【解析】设A(x0,y0),则M-p2,0,
由抛物线定义得,|AF|=x0+p2,
由于|AM|=54|AF|,所以x0+p22+y02
=54x0+p2,
两边平方并化简得y02=916x0+p22,
即y0x0+p2=34,
所以k=y0x0+p2=±34.
答案:±34
12.(2022·南京模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且AK=2AF,则△AFK的面积为　　　　.
【解析】如图,过点A作AB⊥l于点B(l为准线),则由抛物线的定义,得AB=AF.由于AK=2AF,所以AK=2AB,所以∠AKF=∠AKB=45°,设A(2t2,4t),由K(-2,0)得4t2t2+2=1,得t=1,所以S△AKF=12×4×4=8.
答案:8
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.
(1)若TA→·TB→=1,求直线l的斜率.
(2)求∠ATF的最大值.

【解析】(1)由于抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).
当l⊥x轴时,A(1,2),B(1,-2),
此时TA→·TB→=0,与TA→·TB→=1冲突,
所以设直线l的方程为y=k(x-1),
代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,①
所以y12y22=16x1x2=16,所以y1y2=-4,　②
由于TA→·TB→=1,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,
将①②代入并整理得,k2=4,所以k=±2.
(2)由于y1>0,
所以tan∠ATF=y1x1+1=y1y124+1=1y14+1y1≤1,
当且仅当y14=1y1,即y1=2时,取等号,
所以∠ATF≤π4,所以∠ATF的最大值为π4.
14.(2021·福建高考)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,CO为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求MN.
(2)若AF2=AM·AN,求圆C的半径.
【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=5.
所以|MN|=2|CO|2-d2=25-4=2.
(2)设Cy024,y0,则圆C的方程为x-y0242+(y-y0)2=y0416+y02,
即x2-y022x+y2-2y0y=0.
由x=-1,得y2-2y0y+1+y022=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则:
Δ=4y02-41+y022=2y02-4>0,y1y2=y022+1,
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以y022+1=4,解得y0=±6,此时Δ>0,
所以圆心C的坐标为32,6或32,-6,
从而|CO|2=334,|CO|=332,
即圆C的半径为332.
15.(力气挑战题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于55?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p×1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.
由于直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-12.
由直线OA与l的距离d=55,可得|t|5=15,
解得t=±1.
由于-1∉-12,+∞,1∈-12,+∞,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
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