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第四章 平面对量
第1讲 平面对量的概念及线性运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．把平面上全部的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是
( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．两个孤立点 D．一个圆
解析 由单位向量的定义可知，假如把平面上全部的单位向量平移到相同的起点上，则全部的终点到这个起点的距离都等于1，全部的终点构成的图形是一个圆．
答案 D
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是
( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析 对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
答案 B
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是
( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析 表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观看选项易知C满足题意．
答案 C
4．(2022·福州质量检测)在△ABC中， ＝2， ＝a， ＝b， ＝c，则下列等式成立的是
( )
A．c＝2b－a B．c＝2a－b
C．c＝－ D．c＝－
解析 依题意得－＝2(－B)，＝－＝b－a，故选D.
答案 D
5．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点， ＝λ＋μ，则λ＋μ的值为
( )
A. B. C. D．1
解析 ∵M为BC上任意一点，
∴可设＝x ＋y (x＋y＝1)．
∵N为AM的中点，∴＝＝x ＋y ＝λ ＋μ，∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
答案 A
二、填空题
6．向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)， ＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中全部正确结论的序号为________．
解析 由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．
答案 ④
7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析 由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案 －a＋b
8．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb， ＝a＋b， ＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析 ∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ，即∴p＝－1.
答案 －1
三、解答题
9．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
10．如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b， ＝ ， ＝ .试用a，b表示， 及.
解 由题意知，在平行四边形OADB中，＝B
＝B＝(－)＝(a－b)＝a－b，
则O＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
＝ ＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
力气提升题组
(建议用时：35分钟)
11．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于
( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析 由＋＋＝0，知点O为△ABC的重心，
又O为△ABC外接圆的圆心，
∴△ABC为等边三角形，A＝60°.
答案 B
12．(2021·绍兴联考)O是平面上确定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹确定通过△ABC的
( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析 作∠BAC的平分线AD.
∵＝＋λ，
∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·，∴∥.
∴P的轨迹确定通过△ABC的内心．
答案 B
13．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
解析 如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.
答案 －2
14．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．
解析 ＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案 直角三角形
15．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
解 设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ，
即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.
又∵a与b为不共线的非零向量，
∴有⇒
∴当t＝时，三向量终点在同始终线上．
16.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a， ＝b，试用a，b表示.
解 ＝＋＝＋λ
＝＋( ＋)＝＋(－)
＝(1－λ) ＋＝(1－λ)a＋b.
又＝＋＝＋m ＝＋( ＋)
＝(1－m) ＋＝a＋(1－m)b，
∴解得λ＝m＝，
∴＝a＋b.
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