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课时跟踪训练
1．设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ是其次象限角，且f＝0，求的值．
解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋＝－sin 2x.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.
(2)由于f＝0，
所以－sin θ＝0，即sin θ＝，
又θ是其次象限角，
所以cos θ＝－＝－.
所以＝
＝＝
＝＝＝.
2．函数f(x)＝＋2sin x.
(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的全部对称轴的方程．
解：(1)由sin x＋cos x≠0得x≠kπ－，k∈Z.
f(x)＝＋2sin x
＝＋2sin x
＝cos x＋sin x
＝sin，
在△ABC中，cos A＝－＜0，所以＜A＜π，
所以sin A＝＝，
所以f(A)＝sin A＋cos A＝－＝.
(2)由(1)可得f(x)＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝2π.
由于函数y＝sin x图象的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z又由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴的方程为x＝kπ＋，k∈Z.
3．已知向量a＝(sin x,2cos x)，b＝(2sin x，sin x)，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝a·b＝2sin2x＋2sin xcos x
＝2×＋sin 2x
＝sin＋1，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由题意g(x)＝sin＋1＝sin＋1，
由≤x≤得≤2x＋≤，
∴0≤g(x)≤＋1，即g(x)的最大值为＋1，
g(x)的最小值为0.
4．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x－m(x∈R)在区间上，函数f(x)的最大值为2.
(1)求实数m的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c.若A为锐角，且满足f(A)＝0，sin B＝3sin C，△ABC的面积为，求边长a.
解：(1)∵f(x)＝2cos2 x＋2sin xcos x－m＝(cos 2x＋1)＋sin 2x－m＝2sin＋－m.
∵x∈，∴≤2x＋≤.
∴函数f(x)在2x＋＝时取得最大值，即2＋－m＝2，解得m＝.
(2)∵f(A)＝0，∴2sin＝0，
∴sin＝0，由A为锐角，解得A＝.
∵sin B＝3sin C，由正弦定理得b＝3c，①
∵△ABC的面积为，
∴S△ABC＝bcsin A＝bcsin ＝，
即bc＝3.②
由①和②解得b＝3，c＝1.
∵a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×cos，
∴a＝.
5．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5 m到3 m之间的环形礁盘．礁盘外形呈等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130 km2、水深为10～20 m的湖．湖东南端有一个宽400 m的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进入湖中进行修理或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中偶数整点时的水深的近似值如下表：
时间(h)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
水深(m)
7.5
5.7
5
5.7
7.5
10
12.6
14.3
15
14.4
12.5
10.1
7.5
此通道的水深y(m)与时间x(h)可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的函数来刻画．
(1)依据以上数据画出其近似图象，并求出水深y(m)与时间x(h)的具体函数关系式；
(2)若某渔船吃水深度为5 m，船底与海底的平安间隙为2.5 m，该船需进湖休息，一天中什么时刻可以进入湖内？
解：(1)如图，由图可知该函数的最大值为15，最小值为5，最小正周期为24，即A＋h＝15，h－A＝5，T＝＝24，
解得A＝5，h＝10，ω＝.
又函数的图象过点(16,15)，即y＝5sin＋10＝15，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜π，所以φ＝－.
所以水深y(m)与时间x(h)的函数关系式为y＝5sin＋10.
(2)由于该渔船吃水深度为5 m，船底与海底的平安间隙为2.5 m，所以要使该渔船进湖休息，需水深不小于7.5 m时进入，即一天中需y＝5sin＋10≥7.5 h进入，
解得x＝0或8≤x≤24，
所以一天中0 h或8 h到24 h可以进入湖内．
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