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课时提升作业(四十)
一、选择题
1.(2021·潍坊模拟)在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”中应用了( )
(A)分析法
(B)综合法
(C)分析法和综合法综合使用
(D)间接证法
2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )
(A)2ab-1-a2b2≤0 (B)a2+b2-1-≤0
(C)-1-a2b2≤0 (D)(a2-1)(b2-1)≥0
3.假如a<0,b<0,则必有( )
(A)a3+b3≥ab2+a2b
(B)a3+b3≤ab2+a2b
(C)a3+b3>ab2+a2b
(D)a3+b3<ab2+a2b
4.若实数a,b满足a+b<0,则( )
(A)a,b都小于0
(B)a,b都大于0
(C)a,b中至少有一个大于0
(D)a,b中至少有一个小于0
5.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是( )
(A)P>Q (B)P=Q
(C)P<Q (D)由a的取值确定
6.(2021·郑州模拟)若|loga|=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是( )
(A)a>1,b>1 (B)0<a<1,b>1
(C)a>1,0<b<1 (D)0<a<1,0<b<1
7.(2021·惠州模拟)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( )
(A)(2-,2+) (B)[2-,2+]
(C)[1,3] (D)(1,3)
8.已知a,b,c都是负数,则三数a+,b+,c+( )
(A)都不大于-2
(B)都不小于-2
(C)至少有一个不大于-2
(D)至少有一个不小于-2
二、填空题
9.设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小挨次是 .
10.(2021·揭阳模拟)已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 .
11.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意的m,n∈N*都有:
(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.
(2)f(m+1,1)=2f(m,1).
给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;
③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有 .
三、解答题
12.已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
13.(2022·福建高考)某同学在一次争辩性学习中发觉,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°.
(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°.
(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°.
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°.
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
②依据①的计算结果,将该同学的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.
14.(1)求证:当a>1时,不等式a3+>a2+成立.
(2)要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条件,并简述理由;若不能,也请说明理由.
(3)请你依据(1)(2)的结果,写出一个更为一般的结论,且予以证明.
答案解析
1.【解析】选B.从已知条件动身,推出要证的结论,满足综合法.
2.【解析】选D.a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.
3.【解析】选B.(a3+b3)-(ab2+a2b)
=(a3-ab2)-(a2b-b3)
=a(a2-b2)-b(a2-b2)
=(a2-b2)(a-b)
=(a-b)2(a+b),
由于a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,
于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0,
故a3+b3≤ab2+a2b.
4.【解析】选D.假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相冲突,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.
5.【解析】选C.要比较P,Q的大小关系,只要比较P2,Q2的大小关系,只要比较2a+7+2与2a+7+2的大小,
只要比较与的大小,
即比较a2+7a与a2+7a+12的大小,
只要比较0与12的大小,
∵0<12,∴P<Q.
【变式备选】在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是( )
(A)a2<b2+c2 (B)a2=b2+c2
(C)a2>b2+c2 (D)a2≤b2+c2
【解析】选C.当A为钝角时,cosA<0,
因此<0,于是a2>b2+c2.
6.【思路点拨】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.
【解析】选B.∵|loga|=loga,
∴loga≥0=loga1,依据对数函数的单调性可知0<a<1.
∵|logba|=-logba,
∴logba≤0=logb1,但b≠1,所以依据对数函数的单调性可知b>1.
7.【解析】选A.由题可知f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有f(a)=g(b),
则g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,
解得2-<b<2+.
8.【解析】选C.假设三个数都大于-2,
即a+>-2,b+>-2,c+>-2,则得到
(a+)+(b+)+(c+)>-6.
而a,b,c都是负数,
所以(a+)+(b+)+(c+)
=(a+)+(b+)+(c+)
≤-2-2
-2=-6,
这与(a+)+(b+)+(c+)>-6冲突,因此三个数中至少有一个不大于-2.
【变式备选】证明:若正数a,b,c满足abc>8,则a,b,c中至少有一个大于2.
【解析】假设a,b,c都不大于2,即0<a≤2,0<b≤2,0<c≤2,所以0<abc≤8,这与abc>8冲突,因此a,b,c中至少有一个大于2.
9.【解析】∵P=,Q=,R=,
而2<+<+,
∴>>,
故>>,
即P>R>Q.
答案:P>R>Q
10.【解析】由于x>0,y>0,所以+≥2=8,当且仅当y=2x时等号成立.
若+>m2+2m恒成立,则8>m2+2m,
解得-4<m<2.
答案:(-4,2)
11.【解析】在(1)式中令m=1可得
f(1,n+1)=f(1,n)+2,
则f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;
在(2)式中,由f(m+1,1)=2f(m,1)得,
f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,
从而f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确.
答案:①②③
12.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,由于a+b=c+d=1,
所以a,b,c,d∈[0,1],
所以ac≤≤,bd≤≤,
所以ac+bd≤+=1,
这与已知ac+bd>1相冲突,所以原假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
13.【解析】①选择(2)式计算如下sin215°+cos215°-
sin 15°cos 15°=1-sin 30°=.
②三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-
sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
14.【解析】(1)a3+-a2-=(a-1)(a5-1),由于a>1,所以(a-1)(a5-1)>0,故原不等式成立.
(2)能将条件“a>1”适当放宽.理由如下:由于a-1与a5-1对于任意的a>0且a≠1都保持同号,所以上述不等式对任何a>0且a≠1都成立,故条件可以放宽为a>0且a≠1.
(3)依据(1)(2)的证明,可推知:
若a>0且a≠1,m>n>0,
则有am+>an+.
证明如下:
am-an+-=an(am-n-1)-(am-n-1)
=(am-n-1)(am+n-1),
若a>1,则由m>n>0得am-n-1>0,am+n-1>0,知不等式成立;
若0<a<1,则由m>n>0得am-n-1<0,am+n-1<0知不等式成立.
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