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课时作业50 双曲线
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
解析：将方程化为标准方程x2－＝1
∴c2＝1＋＝，∴c＝，故选C.
答案：C
2．(2022·福建理，8)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A. B．4
C．3 D．5
解析：由y2＝12x，焦点坐标为(3,0)．
∴a2＋b2＝9，∴b＝.
双曲线的一条渐近线为y＝x.∴d＝＝.
答案：A
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由题意可得2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，故a2＝c2－b2＝2.
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.
答案：C
4．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )
A．28 B．14－8
C．14＋8 D．8
解析：|PF2|＋|PQ|＋|QF2|
＝|PF2|－|PF1|＋|QF2|－|QF1|＋2|PQ|
＝14＋8.
答案：C
5．(2021·福建理，3)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B.
C. D.
解析：不妨设顶点(2,0)，渐近线y＝，即x－2y＝0，
∴d＝＝.
答案：C
6．(2021·北京理，6)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由于离心率e＝，所以c＝a，即b＝a，由双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.选B.
答案：B
7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．－2 B．－
C．1 D．0
解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.
答案：A
8．(2021·浙江理，9)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在其次、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：不妨设双曲线为－＝1.
由题意知|BF1|－|BF2|＝2a⇒|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝4a2，①
并由勾股定理得|BF1|2＋|BF2|2＝4c2，②
由①②知4c2－4a2＝2|BF1|·|BF2|.
下面求2|BF1|·|BF2|的值．在椭圆中|BF1|＋|BF2|＝4，故|BF1|2＋|BF2|2＋2|BF1|·|BF2|＝16，
又由②知|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12，
∴2|BF1|·|BF2|＝4，因此有c2－a2＝1，
即c2＝3，a2＝2，∴＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2021·江苏，3)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
解析：由a2＝16，b2＝9，
∴渐近线方程y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
10．(2021·陕西理，11)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．
解析：由a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，则e＝＝＝，∴m＝9.
答案：9
11．(2021·湖南理，14)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
解析：由余弦定理＝cos30°，
∴ac＝3a2＋c2，同除以a2得e2－2e＋3＝0，
∴e＝.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．依据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(，－1)；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解：(1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又 ∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.
∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.
(2)解法1(设标准方程)
由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，
即c＝5且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.
又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
解法2(设共焦点双曲线系方程)
∵椭圆的焦点在x轴上，∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
13．已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)与双曲线－＝1(a2>0，b2>0)有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点．
(1)试用b1，b2表示△F1PF2的面积；
(2)当b1＋b2＝m(m>0)是常数时，求△F1PF2的面积的最大值．
解：(1)如图所示，令∠F1PF2＝θ.
因|F1F2|＝2c，则a－b＝a＋b＝c2.即a－a＝b＋b.
由椭圆、双曲线定义，得
|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2(令|PF1|>|PF2|)，
所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
cosθ＝
＝
＝＝.
所以sinθ＝.
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ
＝(a－a)·＝b1b2.
(2)当b1＋b2＝m(m>0)为常数时
S△F1PF2＝b1b2≤()2＝，
所以△F1PF2面积的最大值为.
14．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解：(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1
由题意有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则，
设＝(x3，y3)，＝λ＋，
即①
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2，
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2
②式可化为λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.
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