高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-拓展资料：常见的新定义数列问题.docx

常见的新定义数列问题
近年高考中，经常毁灭新定义数列的考题．题目经常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列学问理解彻透，并学会机敏运用这些学问去解决相关问题．
一、等和数列
【例1】 （2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为 ，且这个数列的前项和的值为 ．
【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设是等和数列，公和为，则由等和数列的定义知，数列的各项依次为即
为奇数；
为偶数．

为奇数；

为偶数．

【解析】 由于，公和为，所以，．
二、等积数列
【例2】 （2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最终一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列是等积数列，且，公积为，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨．
设是等积数列，公积为，则由等积数列的定义知，数列的各项依次为
为奇数；
为偶数．
即
【解析】 由可得：，又由于，公积为，所以，，故选C．
三、等方比数列
【例3】 （2007·湖北）若数列满足，（为正常数，），则称为“等方比数列”．
甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即，即数列公比不愿定为，则命题乙不成立，故选B．
四、确定差数列
【例4】 （2006·北京）在数列中，若是正整数，且，，则称为“确定差数列”．
⑴举出一个前五项不为零的“确定差数列”（只要求写出前项）；
⑵若“确定差数列”中，，数列满足，，分别推断当时，与的极限是否存在，假如存在，求出其极限值；
⑶证明任何“确定差数列”中总含有无穷多个为零的项．
【分析】 关键是读懂题目中“确定差数列”的含义．
【解析】 ⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）；
⑵在“确定差数列”中，由于，，所以自第项开头，，，，，，…，即每个相邻的项周期地取值，，，所以当时，的极限不存在，而当时，，所以．
⑶证明 依据定义，数列必在有限项后毁灭零项．证明如下：
假设中没有零项，由于，所以对任意的，都有，从而当时，，当时，，即的值要么比至少小，要么比至少小；令则
由于是确定的正整数，这样削减下去，必定存在，这与冲突．
所以必有零项．
若第一次毁灭的零项为第项，记，则自第项开头，第三个相邻的项周期地取值，，，即，，，．
所以“确定差数列”中总含有无穷多个为零的项．
五、对称数列
【例5】 （2007·上海）若有穷数列，，（是正整数），满足，，…，，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．
⑴已知数列是项数为的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
⑵已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
⑶对于给定的正整数，试写出全部项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前项和．
【解析】 ⑴设的公差为，则，解得，
所以数列为．
⑵
，
，
所以当时，取得最大值．
的最大值为．
⑶全部可能的“对称数列”是：
①；
②；
③；
④．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
六、一阶差分数列
【例6】 （2007·青岛质检）对于数列，定义为数列的“一阶差分数列”，其中．
⑴若数列的通项公式，求的通项公式；
⑵若数列的首项是，且，
①证明数列为等差数列；
②求的前项和．
【解析】 ⑴依题意，所以．
⑵①由于，所以，即，
所以，又由于，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
②由①得：．
所以．
所以．
错位相减得：．
七、周期数列
【例7】 在数列中，假如存在非零常数，使得对任意正整数均成立，那么就称为“周期数列”，其中叫做数列的周期．已知数列满足，假如，，当数列周期为时，则该数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 由题知，，，
所以或，
由于，，所以，即得：，即数列自第项开头，每三个相邻的项周期地取值，，．
而，
所以，选D．