高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-拓展资料：求数列通项公式的常用方法.docx

求数列通项公式的常用方法
求数列的通项公式是数列考题中的常见形式，是利用数列学问考查数字运用力气的常见题型，在各类选拔性考题中经常毁灭，为了挂念同学们把握这类学问，下面归纳几种常用的方法，供参考。
一、 运用等差数列和等比数列学问
若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。
例1：若等差数列{an}满足bn=()，且b1+b2+b3=,b1·b2·b3=，求通顶公式an.
解析：由b1·b2·b3=a1+a2+a3=3a2=1，依据题设可设等差数列{an}的公差为d，则由b1+b2+b3=，∴()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2，∴an=a2+(n-2)d=2n-1或an=5-2n。
二、 运用Sn与an的关系
当n=1时，S1=a1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1。
例2：已知数列{an}的前n项和Sn=10n+1，求通项公式an.
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又当n=1时，a1=S1=11不适合上式，∴通项公式an=。
例3：正项数列{an}的前n项和为Sn，若2=an+1(n∈N*)，求通项公式an.
解析：依据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1，当n≥2时，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.
三、 累加法和累乘法
若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n)可接受累加法，数列的递推公式
为an+1=an·f(n)则接受累乘法。
例4：在数列{an}中a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求其通项an.
解析：由递推式知an+1=3an+2，又an=3an-1+2，二式相减，得an+1-an=3(an-an-1)，因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列。其首项为a2-a1=(3×1+2)-1=4，∴an+1=an+4·3n-1，则有a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32……an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得an-a1=4(1+3+32+……3n-2)=2(3n-1-1)，则有an=2·3n-1-1.
例5：设{an}是首项为1的正项数列且(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2,
3……)，求它的通项公式an.
解析：由(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,又an,an+1>0,∴an+1=an，则a2=a1, a3=a2……an=an-1，把n个式子累乘得: an=()·()……()·a1，又a1=1故得an=。
四、 待定系数法
对于形如an+1=pan+q(p,q为常数)的递推公式都可以接受此法，即可设
an+1-t=p(an-t)再设法求出参数t.
例6(同例4)
解析：由题设知an+1=3an+2，可化为an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比较系数得-2t=2，即t＝－1，于是an+1+1=3(an+1)，故数列{an+1}是公比为3的等比数列，首项为a1+1=2，则an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。
五、 恒等变形法
将给出式恒等变形，使之转化为与an或Sn有关的等差和等比数列，此法
有确定的技巧性。
例7：在数列{an}中，已知a1=1，an=(n≥2)，求通项an.
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=,则2 SnSn-1 =- Sn + Sn-1 ,两边同除以SnSn-1 得 -=2 (n≥2)，又a1=S1=1，则=1，∴数列{}是以=1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+(n-1)·2=2n-1，∴Sn=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-= - ，而n=1时，a1=S1=1不适合上式，∴an=。
例8：已知通项数列{an}的前n项Sm满足Sn=(an+)，求通项an。
解析：由Sn=(an+)，当n=1时，S1=a1=(a1+)a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1，则2Sn=Sn-Sn-1+,∴Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1，∴数列{Sn2}是公差为1的等差数列，且首项S12=a12=1，∴Sn2=1+(n-1)，又Sn>0，∴Sn=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=,又当n=1时也适合上式，故an=n-.
六、 猜证法
依据给出的公式，先求出数列的前n项，从中观看出规律，猜出通项公式，
再用数学归纳法证明。
例9：已知数列{an}满足a1=1，Sn=，求通项an.
解析：由a1=1，当n=2时，a1+a2=a2a2=2a1=2，当n=3时，a1+a2+a3=2a3
a3=3，同理可得a4=4，……猜想得an=n，下面用数学归纳法证明。
1°当n=1，2，3时，已验算成立，2°假设n=k时，猜想成立，即ak=k，当n=k+1时，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相减，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1时猜想也成立，由1°2°知对于一切自然数n都有an=n.