高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-拓展资料：求数列通项公式的常用方法.docx

求数列通项公式的常用方法求数列的通项公式是数列考题中的常见形式，是利用数列学问考查数字运用力气的常见题型，在各类选拔性考题中经常毁灭，为了挂念同学们把握这类学问，下面归纳几种常用的方法，供参考。一、 运用等差数列和等比数列学问 若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。例1：若等差数列an满足bn=()，且b1+b2+b3=,b1b2b3=，求通顶公式an.解析：由b1b2b3=a1+a2+a3=3a2=1，依据题设可设等差数列an的公差为d，则由b1+b2+b3=，()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2，an=a2+(n-2)d=2n-1或an=5-2n。二、 运用Sn与an的关系 当n=1时，S1=a1，当n2时，an=Sn-Sn-1。例2：已知数列an的前n项和Sn=10n+1，求通项公式an.解析：当n2时，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=910n-1，又当n=1时，a1=S1=11不适合上式，通项公式an=。例3：正项数列an的前n项和为Sn，若2=an+1(nN*)，求通项公式an.解析：依据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1，当n2时，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an0知an-an-1=2，所以an是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.三、 累加法和累乘法 若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n)可接受累加法，数列的递推公式为an+1=anf(n)则接受累乘法。例4：在数列an中a1=1，当n2时，有an=3an-1+2，求其通项an.解析：由递推式知an+1=3an+2，又an=3an-1+2，二式相减，得an+1-an=3(an-an-1)，因此数列an+1-an是公比为3的等比数列。其首项为a2-a1=(31+2)-1=4，an+1=an+43n-1，则有a2-a1=4，a3-a2=43，a4-a3=432an-an-1=43n-2，把n-1个等式累加得an-a1=4(1+3+32+3n-2)=2(3n-1-1)，则有an=23n-1-1.例5：设an是首项为1的正项数列且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n=1,2,3)，求它的通项公式an.解析：由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0得(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0,又an,an+10,an+1=an，则a2=a1, a3=a2an=an-1，把n个式子累乘得: an=()()()a1，又a1=1故得an=。四、 待定系数法 对于形如an+1=pan+q(p,q为常数)的递推公式都可以接受此法，即可设an+1-t=p(an-t)再设法求出参数t.例6(同例4)解析：由题设知an+1=3an+2，可化为an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比较系数得-2t=2，即t1，于是an+1+1=3(an+1)，故数列an+1是公比为3的等比数列，首项为a1+1=2，则an+1=23n-1，即an=23n-1-1。五、 恒等变形法 将给出式恒等变形，使之转化为与an或Sn有关的等差和等比数列，此法有确定的技巧性。例7：在数列an中，已知a1=1，an=(n2)，求通项an.解析：当n2时，an=Sn-Sn-1=,则2 SnSn-1 =- Sn + Sn-1 ,两边同除以SnSn-1 得 -=2 (n2)，又a1=S1=1，则=1，数列是以=1为首项，2为公差的等差数列，=1+(n-1)2=2n-1，Sn=，当n2时，an=Sn-Sn-1=-= - ，而n=1时，a1=S1=1不适合上式，an=。例8：已知通项数列an的前n项Sm满足Sn=(an+)，求通项an。解析：由Sn=(an+)，当n=1时，S1=a1=(a1+)a1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1，则2Sn=Sn-Sn-1+,Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1，数列Sn2是公差为1的等差数列，且首项S12=a12=1，Sn2=1+(n-1)，又Sn0，Sn=，当n2时，an=Sn-Sn-1=,又当n=1时也适合上式，故an=n-.六、 猜证法 依据给出的公式，先求出数列的前n项，从中观看出规律，猜出通项公式，再用数学归纳法证明。例9：已知数列an满足a1=1，Sn=，求通项an.解析：由a1=1，当n=2时，a1+a2=a2a2=2a1=2，当n=3时，a1+a2+a3=2a3a3=3，同理可得a4=4，猜想得an=n，下面用数学归纳法证明。1当n=1，2，3时，已验算成立，2假设n=k时，猜想成立，即ak=k，当n=k+1时，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相减，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1时猜想也成立，由12知对于一切自然数n都有an=n.