资源描述
抛物线(教案)A
一、 学问梳理：
1. 抛物线的定义
定义的理解:
定点在直线上,轨迹是: .
2. 抛物线的标准方程及性质(见下表)
标准方程
图
形
顶
点
对称轴
焦
点
准
线
离心率
焦半径
焦点弦公式
x轴
x轴
y轴
y轴
3、焦半径公式
（1）y2=2px (p>0) ， M(x0, y0) 为抛物线上任意一点。F为抛物线的焦点， |MF|=P2+x0
（2）、n=p1+cosθ , m=p1-cosθ 1m+ 1n = 2p
4、若抛物线y2=2px （p>0）过焦点的弦AB，设A（x1，y1）B（x2，y2），则有下列结论：
（1）、|AB|=p+x1+x2
（2）、|AB|=2psin2θ( y2=2px (p>0), |AB|=2pcos2θ( x2=2py (p>0))
（3）、|AB|=2pcos2θ( x2=2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)
（4）、x1x2=p24 , y1y2=-p2
（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p
（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S∆AOB=p22sinθ=12|AB|∙|ON|=12|OF|∙|A1 B1|=12|OF|∙|yA-yB|
（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切
（8）、过焦点弦的端点的切线相互垂直且交点在准线上
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？
以y2=2px（p>0）为例说明
特例：当弦轴时，则点P的坐标为-p2，0在准线上．
证明:当弦AB过焦点F，设、
则过A点的切线方程是： ①
过B点的切线方程是： ②
由①－②可得：
即：
∴代入①式可得：
∵弦AB过焦点弦，由焦点弦性质可知，∴x=-p2，即交点P坐标为．
结论延长：切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。
以（p＞0）为例说明
特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
证明: p(-p2，0)，设、，则切线PA的方程为，切线PB的方程为．均过点P，则x1=p2，，x2=p2 ，故弦AB过焦点．
证明：设准线上任一点p-p2 ，y0，切点分别为、，
则切线方程分别为：，
两切线均过点P，则满足，．
故过两切点的弦AB方程为：，
则弦AB过焦点．
结论延长：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
（10）、如图，AB是过抛物线（p＞0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M．
（1）与是否有特殊的位置关系？
结论：PA⊥PB．
证明：，，∴
∴PA⊥PB．
（2）与是否有特殊的位置关系？
结论：PF⊥AB．
证明：，
，
∴PF⊥AB．
（3）点M与点P、Q的关系
结论：M平分PQ．
证明：，∴
∴
∴M平分PQ．
（4）直线PA与∠A1AB，直线PB与∠B1BA的关系
结论：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
证明：，，
∴，
∵ ∴
即PA平分∠A1AB，同理PB平分B1BA．
（5）与的大小比较
结论：
证明：，，
∴
（6）的最值问题
结论：
证明：
∵
≥
∴（两等号可同时取得）
课下思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果．
则①，
②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
③
④点M平分PQ
⑤
【练习】
对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，
（1）试证：（n≥1）
（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）
（1）证明：焦点（0，1）
设直线An Bn方程为：
消去y得
∴
（2）由 则
故在An处切线方程为，即类似的，在Bn处切线方程为，即
两式相减得代入可得
则点
∴
从而
∴
【作业】
1、证明上述问题中的结论发散
2、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，
（1）证明：的值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．
3、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．
5、直线与抛物线的关系
（1）、KAB∙yM=p
（2）、直线与抛物线的公共点的状况
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 按向量m=(b2a,-4ac-b24a) 平移得到y=ax2，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，14a），平移前的焦点坐标为（(-b2a,1-4ac+b24a）
7、抛物线的焦点的位置的推断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；
8、A、B两点都在抛物线上，且OA⊥OB，则x1x2=4p , y1y2=-4p2
二、题型探究
探究一：抛物线的标准方程
例1：依据下列条件求出抛物线的标准方程
（1）、焦点到准线的距离是2；
（2）、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X轴，抛物线上的点A（-3，y）到焦点的距离是5，
解：（1）：y2=±x；x2=±y
（2）：P=4，y2=-8x
探究二：抛物线的几何性质
例2：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线（B）
（A） 有且只有一条（B）有且仅有两条（C）有很多条 （D）不存在
例3：已知点P是抛物线y2=2x上任意一点，F为抛物线的焦点，点A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值为 3.5，此时P的坐标是（ 2，2 ）
探究三：直线与抛物线的关系
例4：已知A，B是抛物线上两点，O为原点，且OA⊥OB，求证：
（1）A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；(4p2, -4p2)
（2）、直线AB过定点。(2p,0)
三、方法提升：
1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察：
2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点，直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以依据方程的特点，机敏设为y=kx+b或者x=my+a
四、反思感悟
五、课时作业
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么= (B)
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C ）
（A） （B） （C） （D）
4．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（A ）
(A) x2＝8y (B) x2＝4y (C) x2＝2y (D)
5．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(D)
(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，±）
6．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______
7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
8．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
9．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．
10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长
（答案：边长为）
11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程（答案：）
12．已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：）
13．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点;（3）点的轨迹方程为
14．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程 （答案：）
15．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：）
16．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程 （答案：）
17．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
（ 答案：或）
参考答案：
1．B2．B3．C4．A5．D6．7．x2＝±8y
8． ，9． 10．边长为
11．分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，
又∵ 圆过点， ∴ 所求圆的方程为
12． 13．（1）； ；（2）直线过定点
（3）点的轨迹方程为
14． 15． 16． 17．或
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