【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：抛物线A.docx

抛物线(教案)A一、 学问梳理：1. 抛物线的定义 定义的理解:定点在直线上,轨迹是: .2. 抛物线的标准方程及性质(见下表)标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式x轴x轴y轴y轴3、焦半径公式（1）y2=2px (p0) ， M(x0, y0) 为抛物线上任意一点。F为抛物线的焦点， |MF|=P2+x0 （2）、n=p1+cos , m=p1-cos 1m+ 1n = 2p 4、若抛物线y2=2px （p0）过焦点的弦AB，设A（x1，y1）B（x2，y2），则有下列结论：（1）、|AB|=p+x1+x2（2）、|AB|=2psin2( y2=2px (p0), |AB|=2pcos2( x2=2py (p0)（3）、|AB|=2pcos2( x2=2py (p0)(通径是最短的焦点弦)（4）、x1x2=p24 , y1y2=-p2（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： SAOB=p22sin=12|AB|ON|=12|OF|A1 B1|=12|OF|yA-yB|（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过焦点弦的端点的切线相互垂直且交点在准线上过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？以y2=2px（p0）为例说明特例：当弦轴时，则点P的坐标为-p2，0在准线上证明:当弦AB过焦点F，设、则过A点的切线方程是：过B点的切线方程是：由可得：即： 代入式可得：弦AB过焦点弦，由焦点弦性质可知，x=-p2，即交点P坐标为结论延长：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。以（p0）为例说明特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点证明: p(-p2，0)，设、，则切线PA的方程为，切线PB的方程为均过点P，则x1=p2，x2=p2 ，故弦AB过焦点证明：设准线上任一点p-p2 ，y0，切点分别为、，则切线方程分别为：，两切线均过点P，则满足，故过两切点的弦AB方程为：，则弦AB过焦点结论延长：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径（10）、如图，AB是过抛物线（p0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M（1）与是否有特殊的位置关系？结论：PAPB证明：，PAPB（2）与是否有特殊的位置关系？结论：PFAB证明：， PFAB（3）点M与点P、Q的关系结论：M平分PQ证明：，M平分PQ（4）直线PA与A1AB，直线PB与B1BA的关系结论：PA平分A1AB，PB平分B1BA证明：， 即PA平分A1AB，同理PB平分B1BA（5）与的大小比较结论：证明：，（6）的最值问题结论：证明： （两等号可同时取得）课下思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果则，PA平分A1AB，同理PB平分B1BA点M平分PQ【练习】对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，（1）试证：（n1）（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n1）（1）证明：焦点（0，1）设直线An Bn方程为： 消去y得 （2）由 则故在An处切线方程为，即类似的，在Bn处切线方程为，即两式相减得代入可得则点从而【作业】1、证明上述问题中的结论发散2、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，（1）证明：的值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值3、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AMBM，且点M在直线l上5、直线与抛物线的关系（1）、KAByM=p（2）、直线与抛物线的公共点的状况6、二次函数y=ax2+bx+c(a0) 按向量m=(b2a,-4ac-b24a) 平移得到y=ax2，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，14a），平移前的焦点坐标为（(-b2a,1-4ac+b24a）7、抛物线的焦点的位置的推断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；8、A、B两点都在抛物线上，且OAOB，则x1x2=4p , y1y2=-4p2二、题型探究探究一：抛物线的标准方程例1：依据下列条件求出抛物线的标准方程（1）、焦点到准线的距离是2；（2）、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X轴，抛物线上的点A（-3，y）到焦点的距离是5，解：（1）：y2=x；x2=y （2）：P=4，y2=-8x探究二：抛物线的几何性质例2：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线（B）（A） 有且只有一条（B）有且仅有两条（C）有很多条 （D）不存在例3：已知点P是抛物线y2=2x上任意一点，F为抛物线的焦点，点A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值为 3.5，此时P的坐标是（ 2，2 ）探究三：直线与抛物线的关系例4：已知A，B是抛物线上两点，O为原点，且OAOB，求证：（1）A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；(4p2, -4p2)（2）、直线AB过定点。(2p,0)三、方法提升：1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察：2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点，直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以依据方程的特点，机敏设为y=kx+b或者x=my+a四、反思感悟 五、课时作业1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么= (B)（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C ） （A） （B） （C） （D）4顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（A）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) 5抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(D)(A) （2，4） (B) （2，4） (C) （1，） (D) （1，）6过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 _ 7抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 9以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求OAB的面积 10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长（答案：边长为） 11正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程（答案：）12已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：）13已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点;（3）点的轨迹方程为 14已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程 （答案：）15已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：）16已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程 （答案：）17顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（ 答案：或）参考答案：1B2B3C4A5D67x28y8 ，9 10边长为11分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，又 圆过点， 所求圆的方程为12 13（1）； ；（2）直线过定点（3）点的轨迹方程为 14 15 16 17或