资源描述
第一节 不等关系与不等式
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.<
C．a2>b2 D．a3>b3
解析 当c＝0时，选项A不成立；当a>0，b<0时，选项B不成立；当a＝1，b＝－5时，选项C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)>0，故选D.
答案 D
2．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )
A.< B．|a|>|b|
C．a＋b<2 D.a<b
解析 ∵a>b>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2，又2a>2b，∴a<b，选C.
答案 C
3．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
解析 当b≥0时，a＋b<0，当b<0时，a－b<0，
∴a<b<0，∴a＋b<0，故选D.
答案 D
4．(2022·重庆七校联考)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )
A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析 ∵－1<b<0，∴b<b2<1.又∵a<0，∴ab>ab2>a.
答案 D
5．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析 由1<e2<10，知0<lge<，∴a>b，a>c，
又c－b＝lg－(lge)2＝·lge>0，∴a>c>b.
答案 B
6．(2021·上海松江期末)已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是( )
A．log2a>0 B．2a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．2＋<
解析 若0<a<1，此时log2a<0，A错误；若a－b<0，此时2a－b<1，B错误；由＋>2 ＝2,2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，即ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)<log2＝－2.故选C.
答案 C
二、填空题
7．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.
答案 (－3,3)
8．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析 ∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0，b2>1>b，即解得b<－1；
当a<0时，b2<1<b，即无解．
综上可得b<－1.
答案 (－∞，－1)
9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且公比q＜1，则4a5－3a3与a1的大小关系是__________．
解析 4a5－3a3－a1＝4a1q4－3a1q2－a1
＝a1(4q4－3q2－1)
＝a1(q2－1)(4q2＋1)．
∵0＜q＜1，∴q2＜1，即q2－1＜0.
又a1＞0,4q2＋1＞0，∴4a5－3a3－a1＜0，即4a5－3a3＜a1.
答案 4a5－3a3＜a1
三、解答题
10．若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.
证明 ∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∴0<<.
又∵e<0，∴>.
11．已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2,3≤lg≤4，求lg(x4y2)的取值范围．
解 设a＝lgx，b＝lgy，则lgxy＝a＋b，
lg＝a－b，lgx4y2＝4a＋2b，
设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
∴解得
∴lgx4y2＝3lgxy＋lg.
∵3≤3lgxy≤6,3≤lg≤4，∴6≤lg(x4y2)≤10.
1．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A.2>ab B．ac>bc
C．a2>b2 D．a－b>1
解析 对于选项A，由2>ab，可得a2＋2ab＋b2>4ab，即a2－2ab＋b2>0，(a－b)2>0，故2>ab不能推出a>b成立，故A不符合题意；对于选项B，由ac>bc，可得(a－b)c>0，当c>0时，a>b成立，当c≤0时，a>b不成立，故B不符合题意；对于选项C，由a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能推得a>b成立，故C不符合题意；对于选项D，由a－b>1，可得a－b>1>0，即a>b，由a>b不能推得a>b＋1，即a－b>1成立，故a－b>1是a>b成立的充分不必要条件，故D符合题意．
答案 D
2．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b＝a∨b＝
若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
解析 由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.
答案 C
3．给出下列条件：①1<a<b；②0<a<b<1；③0<a<1<b.其中，能推出logb<loga<logab成立的条件的序号是________．
解析 若1<a<b，则<<1<b，∴loga<loga＝－1＝logb，故条件①不成立；
若0<a<b<1，则b<1<<，
∴logab>loga>loga＝－1＝logb，故条件②成立；
若0<a<1<b，则0<<1，∴loga>0，logab<0，故条件③不成立．
答案 ②
4．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1<a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明 (1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
所以[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式，得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
