资源描述
2021年3月长望浏宁高三模拟考试
理科数学试卷
时量：120分钟 总分150分
考生留意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否全都。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、集合，则
A． B． C． D．
2、设，则是的
A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3、已知函数是偶函数，且，则
A．－3 B．－1 C．1 D．2
4、的开放式的常数项是
A．2 B．3 C．-2 D． -3
5、如下图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝3，则
第5题图
A、x＝，y＝ B、x＝，y＝
C、x＝，y＝ D、x＝，y＝
是
否
开头
输入a,b
输出S
a≥b?
S=b(a+1)
结束
S=a(a-b)
第6题图
6、定义运算为执行如图所示的程序框图
输出的S值，则的值为
A．2 B．-2 C．-1 D．1
7、已知最小正周期为2的函数在区间
上的解析式是，则函数
在实数集R上的图象与函数
的图象的交点的个数是
第8题图
A．3 B．4
C．5 D．6
8、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是
边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为
9、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，
正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD
C
B
x
y
O
A
E
D
F
f(x)=sinx
g(x)=cosx
区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是
A． B． C． D．
第9题图
第12题图
10、若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，则下列结论中错误的是
A. 若，则可以取3个不同的值；
B. 若，则数列是周期为3的数列；
C. 且，存在，数列周期为；
D. 且，数列是周期数列.
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，若全做，则按前两题记分）
11、在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线和曲线C的公共点有 个．
12、如右上图，圆O的直径AB = 8，C为圆周上一点，BC = 4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 ．
13、若,则的最小值为________.
（二）必做题（14-16题）
14、设实数满足，向量．若，则实数m的最小值为 ．
15、已知两定点A(－1，0)和B(1，0),动点在直线上移动，椭圆C
以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 .
16、若函数在定义域内给定区间[a,b]上存在，满足，则称函数是[a,b]上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．例如是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．若函数是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参与该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.依据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和数学期望.
18、（本小题满分12分）
第18题图
如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足
，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）依据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?
19、 (本小题满分12分)
第19题图
如图，在四棱锥中，,四边形是菱形，
且交于点，是上任意一点.
（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为，若为
的中点，求与平面所成角的正弦值.
20、（本小题满分13分）
为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市方案用若干年时间更换10000辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，方案以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。
（1）求、，并求年里投入的全部新公交车的总数；
（2）该市方案用年的时间完成全部更换，求的最小值．
21、（本小题满分13分）
如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点, 直线的斜率分别为(其中
)．△的面积为, 以为直径的圆的面积分别为．若恰好
第21题图
构成等比数列, 求的取值范围．
22、（本小题满分13分）
已知．
(1)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
(2) 的图象与轴交于)两点,中点为，求证：平面．
2021年3月长望浏宁高三模拟考试
理科数学
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
D
A
C
B
B
D
二、填空题：（每小题5分，共25分）
11、1；12、4；13、；14、－2；15、；16、(0,2).
三、解答题：（共75分）
17、（12分）解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种； 2分
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种． 3分
依据古典概型的概率公式，所求的概率为． 4分
（说明：若同学先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的状况”，再将全部结果写成,,，,,,,，不扣分．）
（Ⅱ）由于每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 5分
所以，，
，，
，，
9分
0
1
2
3
4
5
6
10分
故的分布列为：
所以．
故所求的期望为． 12分
解法二：由于每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 1分
（Ⅰ）设大事M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则． 4分
（Ⅱ）由于为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以． 5分
所以，，
，，
，，
9分
故的分布列为： 10分
0
1
2
3
4
5
6
所以．故所求的期望为． 12分
18、（12分）（1）由题设可知，， 1分
又，所以， 3分
从而，再由题设知时，
代入，得，从而， 5分
因此，. 6分
（2）要使点距离地面超过米，则有， 8分
即 ，又解得，
即 10分
所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟. 12分
19、（12分）（1）由于平面，所以， 1分
由于四边形为菱形，所以 2分
x
y
z
又
由于 5分
（2）连接在中，
所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设则，. 6分
由（1）知，平面的一个法向量为（1,0,0）， 设平面的一个法向量为，则得，令，得 8分
由于二面角的余弦值为，所以，
解得或（舍去），所以 10分
设与平面所成的角为.由于，，
∴
所以与平面所成角的正弦值为. 12分
20、（13分）（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列； 1分
数列是首项为、公差为的等差数列， 2分
所以数列的前和， 4分
数列的前项和， 6分
所以经过年，该市更换的公交车总数
； 7分
（2）由于、是关于的单调递增函数， 9分
因此是关于的单调递增函数， 10分
所以满足的最小值应当是， 11分
即，解得， 12分
又，所以的最小值为147． 13分
21、（13分）（Ⅰ）连结QF，依据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分
设其方程为，
可知，，则， 3分
所以点Q的轨迹的方程为． 4分
(Ⅱ)设直线的方程为，，
由可得，
由韦达定理有： 且 6分
∵构成等比数列，=，即：
由韦达定理代入化简得：．∵ ，． 8分
此时，即．
又由三点不共线得，从而．
故
10分
∵
则
为定值． 12分
∴
∴当且仅当时等号成立．
综上：的取值范围是． 13分
22、（13分）(1)依题意：．∴ 1分
∵在上递增，∴对恒成立，
即对恒成立，只需． 3分
∵，∴，当且仅当时取“＝”， 4分
∴，∴b的取值范围为． 6分
(2)由已知得 两式相减，得 ． 8分
由及，得
10分
令．
∵，∴在上递减，∴．
，即， 12分
又，． 13分
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