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A组 考点基础演练
一、选择题
1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( )
解析：三棱柱确定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形．
答案：C
2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，依据画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
解析：由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．
答案：B
3．(2021年成都七中模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中外形如图所示(图中红色部分)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D.
答案：D
4．如图是一正方体被过棱的中点M，N和顶点A，D，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为( )
解析：还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.
答案：B
5．(2021年长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②③ D．①②③④
解析：若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，故选A.
答案：A
二、填空题
6．(2022年江西九校联考)
如图，三棱锥V ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为________．
解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为×2a×h＝ah＝.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝a，所以侧视图的面积为OB·OV＝×a×h＝×＝.
答案：
7．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四周体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．
解析：
①正确，正四周体是每个面都是等边三角形的四周体，如正方体ABCD A1B1C1D1中的四周体A CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必需是相邻的两个侧面．
答案：①
8.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为________．
解析：直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，则S直观图＝y(x＋2y＋x)＝，而原梯形为直角梯形，其面积S＝·2y(x＋2y＋x)＝2×＝4.
答案：4
三、解答题
9．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
解析：图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．
10．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．
解析：
如图所示，正四棱锥S ABCD中，高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，
OA＝＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB的中点．
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即棱锥的斜高为.
B组 高考题型专练
1．(2022年高考湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四周体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四周体的正视图和俯视图分别为( )
A．①和② B．③和①
C．④和③ D．④和②
解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一个虚线(一顶点与另始终角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.
答案：D
2．(2022年高考新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解析：
由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选B.
答案：B
3．(2022年高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题图可知该几何体为三棱柱，最大球的半径为r，则8－r＋6－r＝，得r＝2.
答案：B
4．(2021年高考湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B．1
C. D.
解析：
由题意可知该正方体的放置如图所示，侧视图的方向垂直于面BDD1B1，正视图的方向垂直于面A1C1CA，且正视图是长为，宽为1的矩形，故正视图的面积为，因此选D.
答案：D
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