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题组一 利用动能定理求变力做功
图1
1．如图1所示，由细管道组成的竖直轨道，其圆形部分半径分别是R和，质量为m的直径略小于管径的小球通过这段轨道时，在A点时刚好对管壁无压力，在B点时对管外侧壁压力为(A、B均为圆形轨道的最高点)．求小球由A点运动到B点的过程中摩擦力对小球做的功．
答案 －mgR
解析 由圆周运动的学问可知，小球在A点时的速度vA＝.
小球在A点的动能EkA＝mv＝mgR
设小球在B点的速度为vB，则由圆周运动的学问得m＝mg＋＝mg.
因此小球在B点的动能EkB＝mv＝mgR.
小球从A点运动到B点的过程中，重力做功WG＝mgR.
摩擦力做功为Wf，由动能定理得：
EkB－EkA＝mgR＋Wf，
由此得Wf＝－mgR.
2．一个人站在距地面20 m的高处，将质量为0.2 kg的石块以v0＝12 m/s的速度斜向上抛出，石块的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2，求：
(1)人抛石块过程中对石块做了多少功？
(2)若不计空气阻力，石块落地时的速度大小是多少？
(3)若落地时的速度大小为22 m/s，石块在空中运动过程中克服阻力做了多少功？
答案 (1)14.4 J (2)23.32 m/s (3)6 J
解析 (1)依据动能定理知，W＝mv＝14.4 J
(2)不计空气阻力，依据动能定理得
mgh＝－mv
解得v1＝≈23.32 m/s
(3)由动能定理得mgh－Wf＝－
解得Wf＝mgh－(－)＝6 J
3．如图2甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开头，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2(g取10 m/s2)，求：
图2
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功．
答案 (1)4 m (2)24 J
解析 (1)依据题目条件及题图乙可知，物块在从B返回A的过程中，在恒力作用下做匀速直线运动，即
F－μmg＝ma.
由运动学公式知：xAB＝at2
代入数据解得：xAB＝4 m
(2)物块在前3 s内动能转变量为零，由动能定理得：
W1－Wf＝0，即W1－μmg·xAB＝0
则前3 s内水平力F做的功为W1＝8 J
依据功的定义式W＝Fx得，水平力F在第3 s～5 s时间内所做的功为W2＝F·xAB＝16 J
则水平力F在5 s内对物块所做的功为
W＝W1＋W2＝24 J.
题组二 利用动能定理分析多过程问题
4．一艘由三个推力相等的发动机推动的气垫船在湖面上由静止开头加速前进s距离后，关掉一个发动机，气垫船匀速运动，当气垫船将要运动到码头时，又关掉两个发动机，最终它恰好停在码头，则三个发动机都关闭后，气垫船通过的距离是多少？(设气垫船所受阻力恒定)
答案
解析 设每个发动机的推力是F，气垫船所受的阻力是f.当关掉一个发动机时，气垫船做匀速运动，则：
2F－f＝0，f＝2F.
开头阶段，气垫船做匀加速运动，设末速度为v，气垫船的质量为m，应用动能定理有
(3F－f)s＝mv2，得Fs＝mv2.
又关掉两个发动机时，气垫船做匀减速运动，应用动能定理有－fs1＝0－mv2，得2Fs1＝mv2.
所以s1＝，即关闭三个发动机后气垫船通过的距离为.
5．一铅球质量m＝4 kg，从离沙坑面1.8 m高处自由落下，铅球进入沙坑后下陷0.1 m静止，g＝10 m/s2，求沙对铅球的平均作用力．
答案 760 N
解析 解法一 铅球进入沙坑后不仅受阻力，还要受重力．从开头下落到最终静止，铅球受重力和沙的阻力的作用，重力始终做正功，沙的阻力做负功．
W总＝mg(H＋h)＋(－F阻h)
铅球动能的变化ΔEk＝Ek2－Ek1＝0.
由动能定理得
ΔEk＝mg(H＋h)＋(－F阻h)＝0
将H＝1.8 m，h＝0.1 m代入上式解得
F阻＝＝760 N．即沙对铅球的平均作用力为760 N.
解法二 分段分析做功问题
铅球下落过程可分为两个过程(如图所示)
(1)自由落体下落H；
(2)在沙中减速下降h.
这两个过程的联系是铅球落至沙面时的速度，即第一段过程的末速度为其次段过程的初速度．设这一速度为v，对第一段过程应用动能定理：mgH＝mv2①
其次段过程铅球受重力和阻力，同理可得
mgh－F阻h＝0－mv2②
由①②式得F阻＝·mg＝760 N.
题组三 动能定理和动力学方法的综合应用
6．如图3所示，一个质量为m＝0.6 kg的小球以某一初速度v0＝2 m/s从P点水平抛出，从粗糙圆弧ABC的A点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)且恰好沿圆弧通过最高点C，已知圆弧的圆心为O，半径R＝0.3 m，θ＝60°，g＝10 m/s2.试求：
图3
(1)小球到达A点的速度vA的大小；
(2)P点与A点的竖直高度H；
(3)小球从圆弧A点运动到最高点C的过程中克服摩擦力所做的功W.
答案 (1)4 m/s (2)0.6 m (3)1.2 J
解析 (1)在A处由速度的合成得vA＝
代值解得vA＝4 m/s
(2)P到A小球做平抛运动，竖直分速度vy＝v0tan θ
由运动学规律有v＝2gH
由以上两式解得H＝0.6 m
(3)恰好过C点满足mg＝
由A到C由动能定理得
－mgR(1＋cos θ)－W＝mv－mv
代入解得W＝1.2 J.
图4
7．如图4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2 m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝10 kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2 m的高处．已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2.
(1)试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？
(2)工件从传送带底端运动至h＝2 m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功？
答案 (1)工件以2.5 m/s2的加速度先匀加速，运动0.8 m与传送带达到共同速度2 m/s后做匀速直线运动
(2)220 J
解析 (1)工件刚放上传送带时受滑动摩擦力：f＝μmgcos θ，
工件开头做匀加速直线运动，由牛顿其次定律：f－mgsin θ＝ma可得：
a＝－gsin θ
＝g(μcos θ－sin θ)
＝10×m/s2
＝2.5 m/s2.
设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：x＝＝ m＝0.8 m＜＝4 m
故工件先以2.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m与传送带达到共同速度2 m/s后做匀速直线运动．
(2)在工件从传送带底端运动至h＝2 m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf，由动能定理得Wf－mgh＝mv，
可得：Wf＝mgh＋mv＝10×10×2 J＋×10×22 J＝220 J.
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