高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-拓展资料：用向量表示三角形的四心.docx

用向量表示三角形的四心
由高中数学新教材中的向量学问动身，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.
【例】 如图9-5-14，在△ABC中，F是AB上的一点,E是AC上的一点,且=,=(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF、BE交于点D.求D点的坐标.

解：在平面上任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，由定比分点的向量表达式，得：
=(+·)÷(1+)
= ①
== ②
又== ③(其中=,).
整理①、②、③式得=.
所以=++ ④
由④式动身，可得三角形四心的向量表达式：
（1）若BE、CF是△ABC两边上的中线，交点G为重心.由④式可得重心G的向量表达式：
=(++).
（2）若BE、CF是△ABC两内角的平分线，交点I是内心.
由于=,=,
由④式可得内心I的向量表达式：
=++.
（3）若BE、CF是△ABC两边上的高，交点H是垂心.
==.
同理=.
由④式可得垂心H的向量表达式：
=++.
（4）若BE、CF的交点O′是△ABC的外心，即三边中垂线交点，则
O′A=O′B=O′C.
依据正弦定理：
==
==.
同理=.
由④式可得外心O′的向量表达式：
=+
+.
这四个向量表达式，都由④式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.