高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-拓展资料：用向量表示三角形的四心.docx

用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量学问动身，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.【例】 如图9-5-14，在ABC中，F是AB上的一点,E是AC上的一点,且=,=(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF、BE交于点D.求D点的坐标.解：在平面上任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，由定比分点的向量表达式，得：=(+)(1+)= = 又= (其中=,).整理、式得=.所以=+ 由式动身，可得三角形四心的向量表达式：（1）若BE、CF是ABC两边上的中线，交点G为重心.由式可得重心G的向量表达式：=(+).（2）若BE、CF是ABC两内角的平分线，交点I是内心.由于=,=,由式可得内心I的向量表达式：=+.（3）若BE、CF是ABC两边上的高，交点H是垂心.=.同理=.由式可得垂心H的向量表达式：=+.（4）若BE、CF的交点O是ABC的外心，即三边中垂线交点，则OA=OB=OC.依据正弦定理：=.同理=.由式可得外心O的向量表达式：=+.这四个向量表达式，都由式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.