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双基限时练(六)
1．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( )
A．8倍 B．4倍
C．2倍 D．2倍
解析 大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的倍，所以球的体积扩大为原来的2倍．
答案 C
2．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为( )
A. B.
C. D.
解析 设正方体的棱长为a，依题意知内切球的直径为a，∴球的表面积S球＝4π2＝πa2，正方体的表面积S正＝6a2.
∴S球S正＝.
答案 D
3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是( )
A．8 πcm2 B．12 πcm2
C．16 πcm2 D．20 πcm2
解析 依题意知球的直径为正方体的对角线，∴球的半径为R＝×＝(cm)．∴球的表面积S＝4π()2＝12π(cm2)．
答案 B
4．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析 设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积V3＝π×33＝36π，两个小球的体积和V1＋V2＝π(13＋23)＝12π.∴最大球的体积是其他两个球的体积和的3倍．
答案 C
5．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．
解析 设球的半径为r，则πr3＝4π，∴r3＝3.∴r＝.∴它的表面积S＝4πr2＝12π.
答案 12π
6．将一铜球放入底面半径为4 cm的圆柱形玻璃容器中，水面上升9 cm，则这个铜球的半径为________．
解析 设铜球的半径为r，依题意得πr3＝π×42×9.
∴r＝3(cm)．
答案 3 cm
7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为________．
解析 依题意知正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1，又高为，所以球的直径为2，故球的体积为π×13＝π.
答案 π
8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，求h的值．
解 对于圆锥形容器的体积
V1＝πh2·h＝πh3，
对于圆柱形容器的体积
V2＝π2·h＝a2h.
由V1＝V2，得πh3＝a2h.
∴h＝a.
故h的值为a.
9．某几何体的三视图如图所示(单位：m)．
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
解 该几何体为组合体，下部为棱长为2的正方体，上部为半径是1的半球．
(1)由于正方体的上底面被球盖住一部分，∴该几何体的表面积
S＝×4πR2＋6×22－π×R2
＝2π×12＋24－π＝π＋24.
(2)该几何体的体积V＝×πR3＋a3＝π×13＋23＝8＋π.
10．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放入该锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
解 (1)设圆锥体的高为h cm，
则h＝＝8(cm)．
(2)球放入锥体后的轴截面如图所示，
设球的半径为R cm，由△OCD∽△ACB，得＝，即＝，∴R＝3.
圆锥体积剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，
即×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．
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