辽宁省葫芦岛市2021届高三第一次模拟考试-数学(文)-扫描版含答案.docx

2021年葫芦岛市第一次模拟考试
数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一.选择题:每小题5分,总计60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
D
B
B
C
B
A
C
A
二.填空题:每小题5分,总计20分.
13. (-∞,-2)
14.
15. 、-
16.①③④
三.解答题:
17.(本小题满分12分)
解：（1）由a4+a8=22得：a6=11 又a3=5 ∴d=2, a1=1……………………2分
∴an=2n-1 …………………………………………………………………………4分
Sn===n2 ………………………………………………………………6分
(2) bn===(-)
当n=1时，b1=(1-)=<,原不等式成立；………………………………8分
当n≥2时，
b1+b2+…+bn=(-+-+-+-+…+-+-+-)
=(+--)<(+)=
∴b1+b2+…+bn<(n∈N*)………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
(1)证明：∵AB⊥平面BEC，CEÌ平面BEC ∴AB⊥CE
∵BC为圆的直径 ∴BE⊥CE ∵BEÌ平面ABE，ABÌ平面ABE，BE∩AB=B
∴CE⊥平面ABE ∵BFÌ平面ABE ∴CE⊥BF 又BF⊥AE 且CE∩AE=E
∴BF⊥平面AEC ACÌ平面AEC ∴BF⊥AC
A
B
C
D
E
F
（或由面面垂直的性质定理证明，请参照赋分）……………………6分

（2）在RtDBEC中，∵CE=1，∠CBE=30° ∴BE=,BC=2
又∵ABCD为正方形 ∴AB=2 ∴AE=
∴BF===
∴EF==
∴VF-BCE=VC-BEF=·SDBEF·CE=··EF·BF·CE
=····=……………………12分
19．（本小题满分12分）
(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),由图可知：P1=×30=, P2=×30=
∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2= 由题意：n×=5 ∴n=100
1/100
1/200
1/375
1/600
1/1000
1/1500
30
60
90
120
150
180
210
240
时间（分钟）
频率/组距
O
1/120
1/250
又P3=×30=, P5=×30=, P6=×30=, P7=×30=, P8=×30=
∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+ P6+P7+ P8)=
∴第④组的高度为:h=×==
频率分布直方图如图：
（注：未标明高度1/250扣1分）…………4分
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，

利用时间充分
利用时间不充分
总计
走读生
30
15
45
住宿生
45
10
55
总计
75
25
100

从而列联表如下：

将列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分
K2===≈3.030
由于3.030<3.841，所以没有理由认为同学“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分
(3)记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本大事空间W=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本大事；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作大事A，则大事A所包含的基本大事有：A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6个基本大事，∴P（A）==
即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为.……12分
20.(本小题满分12分)
解：（1）∵e= ∴a2=3c2=3a2-3b2 ∴2a2=3b2
将x=-c代入椭圆方程得：y2= y=± 由题意：=
2a=b2 解得：a2=3,b2=2
∴椭圆C的方程为：+=1……………………………………………6分
(2)联立方程组：联立并消元整理得：(3k2+2)x2+6ktx+3t2-6=0…………①
D=24(3k2+2-t2)>0 ∴3k2+2>t2………②
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2t=+2t=
设MN的中点为G(x0,y0),则
x0==,y0== ∴线段MN的垂直平分线方程为：y-=-(x+)
将P（0，-)代入得：+= 化简得：3k2+2=4t

代入②式得：4t>t2 ∴0<t<4 ……………………9分
|MN|=·=·=·=·
设O到直线MN的距离为d,则
d=
∴SDNOM=·|MN|·d=···=·=·≤
(当且仅当t=2,k=±时取“=”号）
∴DMON面积的最大值为，此时直线l的方程为：y=±x+2. ……………………12分

21. (本小题满分12分)
解：（1）f(x)=ax+,f′(x)=a- 由题意：f′(1)=2，f(1)=0 即a-b=2,a+b=0
解得：a=1,b=-1……………………4分
(2)f(x)=x- 由g(x)≤mf(x)得：2lnx≤m(x-) 2lnx-m(x-)≤0
令j(x)=2lnx-m(x-) 则j′(x)=-m(1+)=……………………6分
①当m=0时,j′(x)= >0恒成立，∴j(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴j（x)>j(1)=0
这与j(x)≤0冲突，不合题意；
若m≠0，令D=4-4m2=4(1+m)(1-m)
②当m≤-1时，D≤0恒成立且-m>0 ∴-mx2+2x-m≥0恒成马上j′(x)≥0恒成立∴j(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴j（x)>j(1)=0，这与j(x)≤0冲突，不合题意；
③当-1<m<0时，D>0,方程-mx2+2x-m=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1<x2),由韦达定理得：
x1·x2=1>0,x1+x2=<0,∴x1<x2<0 ∴当x≥1时，-mx2+2x-m≥0恒成马上j′(x)>0恒成立∴j(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴j（x)>j(1)=0，这与j(x)≤0冲突，不合题意；
④当0<m<1时，D>0,方程-mx2+2x-m=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1<x2),0<x1=<1, x2=>1∴0<x1<1<x2 ∴j(x)在（1，x2)单调递增 ∴当x∈(1,x2)时, j′(x)>0 ∴j(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴j（x)>j(1)=0，这与j(x)≤0冲突，不合题意；
⑤当m≥1时，D≤0且-m<0 ∴j′(x)≤0恒成立 j(x)在[1，+∞）上单调递减 ∴j（x)≤j(1)=0， 合题意
综上所述，当m∈[1,+∞)时，g(x)≤mf(x)恒成立。……………………6分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，
故∠PAD＝∠PDA.
由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.
因此BE＝EC. ……………………5分
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
由于PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. ……………………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：对于曲线M,消去参数，得一般方程为,曲线是抛物线的一部分；
对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. ……………………2分
(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直
到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两
个公共点，所以满足要求；相切时照旧只有一个公共点，由，
得，求得. 综合可求得的取值范围是：
或. ……………………5分
(2)当时，直线N: ，设M上点为，，则
，
当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.……………………10分
24．解：
解：（1）
当时，由解得：；当时，由得，舍去；
当时，由，解得.
所以原不等式解集为.……………………5分
（2）由（1）中分段函数的解析式可知:在区间上单调递减，在区间上单调递增.并且，所以函数的值域为.从而的取值范围是,进而的取值范围是.依据已知关于的方程的解集为空集，所以实数的取值范围是.……………………10分