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课时提升作业(五十)
一、选择题
1.(2021·西安模拟)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
2.(2021·新余模拟)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
(A)(x+1)2+(y-1)2=2 (B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x+1)2+(y+1)2=2
3.把直线y=x绕原点逆时针转动，使它与圆x2+y2+2x-2y+3=0相切，则直线转动的最小正角是( )
(A) (B) (C) (D)
4.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是( )
(A)(x-)2+y2=5 (B)(x+)2+y2=5
(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5
5.(2021·景德镇模拟)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=( )
(A) (B)或-
(C) (D)或-
6.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么( )
(A)m∥l,且l与圆相交 (B)m⊥l,且l与圆相切
(C)m∥l,且l与圆相离 (D)m⊥l,且l与圆相离
7.(2021·阜阳模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B为切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( )
(A) (B) (C)2 (D)2
8.(力气挑战题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
(A)π (B)2π (C)4π (D)6π
二、填空题
9. (2021·宝鸡模拟)直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A，B两点，且|AB|=2，则a= .
10.(2021·咸阳模拟)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为 .
11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c =0的距离为1,则实数c的取值范围是 .
12.(力气挑战题)若点P在直线l1:x+my+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2 =16只有一个公共点M,且|PM|的最小值为4,则m= .
三、解答题
13.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.
14.(2021·铜陵模拟)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
15.(力气挑战题)已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.
(1)求直线l1的方程.
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.
求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.
答案解析
1.【解析】选B.圆O1的圆心为(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心为(0,2),半径为r2=2,故两圆的圆心距|O1O2|=,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两圆相交.
2.【解析】选B.由已知设圆心C为(a,-a),则有=,解得a=1,
∴圆心C(1,-1),半径r==,
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
3.【解析】选A.易知已知圆的切线斜率存在，设切线方程为y=kx，∵圆心坐标为(-，1)，半径为1，∴依据题设条件知=1，∴k=0或k=-，当k=-时逆时针转动的正角最小，∴直线转动的最小正角为-=.
4.【解析】选B.设圆心为(a,0)(a<0),由于截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.
5.【解析】选D.∵·=0,∴OM⊥CM,
∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,
由=,得k=±,即=±.
6.【解析】选C.直线m的方程为y-b=-(x-a),
即ax+by-a2-b2=0,
∵P在圆内,∴a2+b2<r2,∴m∥l,
∵圆心到直线l的距离d=>r,
∴直线l与圆相离.
7.【解析】选B.由x2+y2-2x-2y+1=0得圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,故圆心C(1,1),半径|OA|=|OB|=1.
又S四边形PACB=|PA||OA|+|PB||OB|
=|PA||OA|=|PA|,
因此要使S四边形PACB最小,只要|PA|最小,
而|PA|=,所以只要|PC|最小,
而|PC|min==2,
∴|PA|min===,
∴(S四边形PACB)min=.
8.【思路点拨】作出图形,利用几何法求解.
【解析】选B.如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3.
在Rt△OBC中可得:∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧长为2π.
9.【解析】圆的圆心为M(1，2)，半径r=2.由于|AB|=2，所以圆心到直线的距离d===1，即=1，所以|a+1|=，平方得a2+2a+1=a2+1，解得a=0.
答案:0
10.【解析】由于圆心C在曲线y=上,所以设C(a,)(a>0),
由已知得:圆C半径r=≥(2+1)=.
当且仅当2a=,即a=1(a>0)时取等号,
∴圆心C(1,2),半径r=,
∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
答案:(x-1)2+(y-2)2=5
11.【解析】画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆的半径为2,即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0≤<1,
∴-13<c<13.
答案:(-13,13)
【变式备选】若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直,则线段AB的长是 .
【解析】依题意得|OO1|==5,且△OO1A是直角三角形,
=··|OO1|=·|OA|·|AO1|,因此|AB|===4.
答案:4
12.【解析】由题意l2与圆C只有一个公共点,说明l2是圆C的切线,由于|PM|2=|PC|2-|CM|2=|PC|2-16,所以要|PM|最小,只需|PC|最小,
又C(5,0)为定点,则|PC|的最小值为点C到l1的距离,即=,所以|PM|的最小值为=4,解得m=±1.
答案:±1
13.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
∵圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
∴直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.
圆心O1到直线AB的距离d=,
由d2+22=6,得=2,
∴r2-14=±8,r2=6或22.
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①
(1)当两圆C1,C2相交时,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程;
(2)当两圆C1,C2相切时,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程.
14.【解析】假设存在斜率为1的直线l满足题意,则OA⊥OB.
设直线l的方程是y=x+b,其与圆C的交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则·=-1,
即x1x2+y1y2=0. ①
由
消去y得:2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
∴x1+x2=-(b+1),x1x2=(b2+4b-4), ②
y1y1=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
=(b2+4b-4)-b2-b+b2=(b2+2b-4). ③
把②③式代入①式,得b2+3b-4=0,解得b=1或b=-4,且b=1或b=-4都使得
Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0成立.故存在直线l满足题意,其方程为y=x+1或y=x-4.
15.【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3)(斜率不存在时,明显不符合要求),即kx-y-3k=0,
则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d==1,
解得k=±,∴直线l1的方程为y=±(x-3).
(2)对于圆方程x2+y2=1,
令y=0,得x=±1,故可令P(-1,0),Q(1,0).
又直线l2过点A且与x轴垂直,
∴直线l2的方程为x=3,
设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).
解方程组得P′(3,).
同理可得,Q′(3,),
∴以P′Q′为直径的圆C的方程为
(x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0.
又s2+t2=1,
∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,
若圆C经过定点,只需令y=0,
从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2,
∴圆C总经过定点,坐标为(3±2,0).
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