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课时提升作业(五十三)
一、选择题
1.(2021·长沙模拟)圆C1:x2+y2+2x-3=0和圆C2:x2+y2-4y+3=0的位置关系为( )
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内含
2.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为( )
(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x-1)2+y2=2
(C)(x+1)2+y2=4 (D)(x-1)2+y2=4
3.(2021·厦门模拟)若直线2x-y+a=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点，则实数a的取值范围是( )
4.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )
(A)(x-)2+y2=5 (B)(x+)2+y2=5
(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5
5.(2022·北京模拟)设O为坐标原点，C为圆(x-2)2+y2=3的圆心，且圆上有一点M(x,y)满足则=( )
6.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax+by=r2,那么( )
(A)m∥l,且l与圆相交
(B)m⊥l，且l与圆相切
(C)m∥l,且l与圆相离
(D)m⊥l,且l与圆相离
7.若圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
8.(力气挑战题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )
(A)π (B)2π (C)4π (D)6π
二、填空题
9.已知圆O：x2+y2=5和点A(1，2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
11.(2021·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是________.
12.(2021·深圳模拟)若点P在直线l1:x+my+3=0上，过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M，且|PM|的最小值为4，则m=________.
三、解答题
13.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6，圆O2的圆心坐标为(2，1).若两圆相交于A，B两点，且|AB|=4，求圆O2的方程.
14.(2021·南平模拟)过点Q(-2，)作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|=4.
(1)求r的值.
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设求的最小值(O为坐标原点).
15.(力气挑战题)已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切.
(1)求直线l1的方程.
(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.
求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标.
答案解析
1.【解析】选B.圆C1方程可化为：(x+1)2+y2=4,其圆心C1(-1，0)，半径r1=2,
圆C2方程可化为：x2+(y-2)2=1,其圆心C2(0,2),半径r2=1.
∴|C1C2|=r1+r2=3,r1-r2=1,
∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交.
2.【解析】选A.直线x-y+1=0,令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),由于直线x+y+3=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
3.【解析】选B.若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有
解得
4.【解析】选B.设圆心为(a,0)(a<0)，由于截得的弦长为4，所以弦心距为1，则解得a=，所以，所求圆的方程为(x+)2+y2=5.
5.【解析】选D.∵∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y=kx,
由得
6.【解析】选C.直线m的方程为
即ax+by-a2-b2=0,
∵P在圆内，∴a2+b2<r2,∴m∥l,
∵圆心到直线l的距离
∴直线l与圆相离.
7.【解析】选C.由x2+y2+2x-4y+3=0,得(x+1)2+(y-2)2=2,
依题意得圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上，
所以有2a×(-1)+b×2+6=0,即a=b+3 ①
又由点(a,b)向圆所作的切线长
②
将①代入②得
又由b∈R,所以当b=-1时，lmin=4.
8.【思路点拨】作出图形，利用几何法求解.
【解析】选B.如图，圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9，圆心坐标为(0，6)，半径为3.
在Rt△OBC中可得：∠OCB=∴∠ACB=∴所求劣弧长为2π.
9.【解析】∵点A(1，2)在圆x2+y2=5上，
∴过点A与圆O相切的切线方程为x+2y=5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为
答案:
10.【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心确定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.
【解析】∵圆A：(x-6)2+(y-6)2=18,
∴A(6,6)，半径r1=且OA⊥l，A到l的距离为明显所求圆B的直径2r2=
即r2=又由与x轴正半轴成45°角，
∴B(2,2)，∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
答案:(x-2)2+(y-2)2=2
11.【解析】画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，该圆的半径为2，即圆心O(0，0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即
∴-13<c<13.
答案:(-13,13)
【变式备选】若⊙O：x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长是________.
【解析】依题意得且△OO1A是直角三角形，
答案:4
12.【解析】由题意l2与圆C只有一个公共点，说明l2是圆C的切线，由于|PM|2=|PC|2-|CM|2=|PC|2-16，所以要|PM|最小，只需|PC|最小，
又C(5，0)为定点，则|PC|的最小值为点C到l1的距离，即
所以|PM|的最小值为解得m=±1.
答案:±1
13.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
∵圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
∴直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.
圆心O1到直线AB的距离
由d2+22=6,得=2,
∴r2-14=±8,r2=6或22.
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①
我们把直线方程①称为两圆C1，C2的根轴,
当两圆C1，C2相交时，方程①表示两圆公共弦所在的直线方程；
当两圆C1，C2相切时，方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程.
14.【解析】(1)圆O：x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0，0)，于是|QO|2=(-2)2+
=25，
由题设知，△QDO是以D为直角顶点的直角三角形,
故有
(2)设直线l的方程为(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,
则A(a,0),B(0,b),∴=(a,b),
∵直线l与圆O相切，
∴a2+b2≥36,
∴≥6,
当且仅当a=b=时取到“=”.
∴取得最小值为6.
15.【解析】(1)∵直线l1过点A(3，0)，且与圆C:x2+y2=1相切，设直线l1的方程为y=k(x-3)(斜率不存在时，明显不符合要求),即kx-y-3k=0,
则圆心O(0，0)到直线l1的距离为
解得∴直线l1的方程为y=(x-3).
(2)对于圆方程x2+y2=1,
令y=0，得x=±1,故可令P(-1，0)，Q(1，0).
又直线l2过点A且与x轴垂直，
∴直线l2的方程为x=3,
设M(s,t)，则直线PM的方程为
解方程组得
同理可得，
∴以P′Q′为直径的圆C的方程为
(x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0,
又s2+t2=1,
∴整理得(x2+y2-6x+1)+ =0,
若圆C经过定点，只需令y=0,
从而有x2-6x+1=0,解得
∴圆C总经过定点，坐标为
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