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第四章 §1 1.1
一、选择题
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B.，1
C.，－1 D．－，1
[答案] B
[解析] 令f(x)＝2x2－3x＋1＝0得x＝或x＝1.
故选B.
2．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，
又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8<0，
∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B.
3．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] B
[解析] 令f(x)＝0，
则x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x>0)，
解得：x＝－3或x＝符合题意，故选B.
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 函数f(x)的零点个数，即方程f(x)＝0的实数根个数，
令f(x)＝0得，2x|log0.5x|＝1，
∴|logx|＝()x，
令g(x)＝()x，h(x)＝|logx|，
在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f(x)有两个零点．
6．下列函数在区间[1,2]上确定有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] 对于A：f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)>0，无法推断f(x)在[1,2]上是否有零点；
对于B：f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)>0，同选项A一样，无法推断；
对于C：f(1)＝3，f(2)＝ln2，f(1)·f(2)>0，同选项A、B一样，无法推断；
对于D：f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在[1,2]上有零点．
二、填空题
7．函数f(x)＝的零点是________ .
[答案] －2
[解析] f(x)＝＝x＋2(x≠2)，
令f(x)＝0，得x＝－2.
8．设函数f(x)＝，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
[答案] 3
[解析] 由已知得，
∴f(x)＝，作图像如图所示．
由图像可知f(x)＝x的解的个数为3.
三、解答题
9．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
[解析] 由已知方程得x2－ax－b＝0的两根为2和3.
∴∴
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令－6x2－5x－1＝0得6x2＋5x＋1＝0，
∴x＝－或x＝－.
∴函数g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.
10．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图像与x轴总有交点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数图像与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m的值．
[解析] (1)当 m＋6＝0即m＝－6时，
函数y＝－14x－5与x轴有一个交点；
当m＋6≠0即m≠－6时，
有Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝4(－9m－5)≥0，解得m≤－，
即当m≤－且m≠－6时，抛物线与x轴有一个或两个交点，
综上可知，当m≤－时，此函数的图像与x轴总有交点．
(2)设x1、x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0的两个根，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3，
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0，符合题意，
∴m的值是－3.
一、选择题
1．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
[答案] C
[解析] 由于f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(2，＋∞)
D．(0,1)∪(1,2)
[答案] A
[解析] 令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．
(1)当a>1时，y1＝ax过(0,1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴确定有两个交点．
(2)当0<a<1时，(0，a)点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．
∴a的取值范围为a>1.
二、填空题
3．关于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则m的范围为________．
[答案] m≤1
[解析] ①m＝0时，x＝－适合题意．
②m≠0时，应有m<0或
解得m<0或0<m≤1.综合①②可得，m≤1.
4．方程lgx＋x＝0的实数解的存在区间为________．
[答案] (，1)
[解析] 令f(x)＝lgx＋x，则f()＝lgeq \f(1,10)＋eq \f(1,10)＝－eq \f(9,10)<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.
∴f(eq \f(1,10))f(1)<0.而f(x)＝lgx＋x在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)仅有一个零点，且在(，1)内．
三、解答题
5．设函数f(x)＝ax＋2a＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围．
[解析] 由于函数f(x)在[－1,1]上存在零点，
所以或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(－1)≤0,f(1)≥0)).
即f(－1)·f(1)≤0.
所以(－a＋2a＋1)·(a＋2a＋1)≤0，
即(a＋1)(3a＋1)≤0.解得－1≤a≤－.
6．争辩方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
[解析] 令f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3和y＝x－15在[1,2]上都为增函数．
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．
7．求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．
[解析] (1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2；
(2)当a≠0时，令y＝0得x＝或x＝－2.
①当a＝－时，函数的零点为－2；
②当a≠－时，函数的零点为，－2.
综上所述：(1)当a＝0或－时，零点为－2；
(2)当a≠0且a≠－时，零点为，－2.
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