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第4课时 功能关系 能量守恒定律
[知 识 梳 理]
学问点、功能关系
1．功能关系
(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程肯定伴随着能量的转化，而且能量的转化必需通过做功来实现。
2．能量守恒定律
(1)内容：能量既不会毁灭，也不会创生。它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
(2)表达式：ΔE减＝ΔE增。
思维深化
推断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能。( )
(2)物体在速度增大时，其机械能可能在减小。( )
(3)重力和弹簧弹力之外的力做功的过程是机械能和其他形式能量转化的过程。( )
(4)一对互为作用力与反作用力的摩擦力做的总功，等于系统增加的内能。( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
[题 组 自 测]
题组一 对几种功能关系的理解
1．2021年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落大事。坠落的陨石重量接近1万吨，进入地球大气层的速度约为4万英里每小时，随后与空气摩擦而发生猛烈燃烧，并在距离地面上空12至15英里处发生爆炸，产生大量碎片，假定某一碎片自爆炸后落至地面并陷入地下肯定深度过程中，其质量不变，则( )
A．该碎片在空中下落过程中重力做的功等于动能的增加量
B．该碎片在空中下落过程中重力做的功小于动能的增加量
C．该碎片在陷入地下的过程中重力做的功等于动能的转变量
D．该碎片在整个过程中克服阻力做的功等于机械能的削减量
解析 陨石在空中下落过程中，陨石与空气之间的摩擦力对陨石做负功，由动能定理有：WG－Wf＝ΔEk，故WG＞ΔEk，A、B错误；陨石碎片在陷入地下的过程中，阻力同样做负功，WG＞ΔEk，C错误；对全过程，由能量守恒定律可知机械能转化为内能，机械能削减，内能增大，由功能原理可知该碎片在整个过程中克服阻力做的功等于机械能的削减量，D正确。
答案 D
2．升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开头竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)( )
A．升降机对物体做功5 800 J
B．合外力对物体做功5 800 J
C．物体的重力势能增加500 J
D．物体的机械能增加800 J
解析 依据动能定理得W升－mgh＝mv2，可解得W升＝5 800 J，A正确；合外力做的功为mv2＝×100×42 J＝800 J，B错误；物体重力势能增加mgh＝100×10×5 J＝5 000 J，C错误；物体机械能增加ΔE＝Fh＝W升＝5 800 J，D错。
答案 A
题组二 能量守恒定律的应用
3．如图1所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，B、C在水平线上，其距离d＝0.5 m。盆边缘的高度为h＝0.3 m。在A处放一个质量为m的小物块并让其由静止下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.1。小物块在盆内来回滑动，最终停下来，则停下的位置到B的距离为( )
图1
A．0.5 m B．0.25 m C．0.1 m D．0
解析 由mgh＝μmgs，得s＝3 m，而＝＝6，即3个来回后，小物块恰停在B点，选项D正确。
答案 D
4．(多选) (2022·郑州质检)如图2所示，表面粗糙的固定斜面顶端安装一个定滑轮，物块A、B用轻绳连接并跨过定滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)。初始时刻，手扶物块B使物块A、B处于静止状态。松手后物块A下落，物块B沿斜面上滑，则从松手到物块A着地前的瞬间(B未遇到滑轮)( )
图2
A．物块A削减的机械能等于物块B增加的机械能
B．轻绳对物块B做的功等于物块B的机械能增量
C．轻绳对物块A做的功等于物块A的机械能变化量
D．摩擦力对物块B做的功等于系统机械能的变化量
解析 由题意可知，斜面粗糙，B受到滑动摩擦力，对物块A、B和斜面系统进行分析，由能量守恒定律可知，物块A削减的机械能等于物块B增加的机械能加上摩擦产生的热量，A错误；以物块B为争辩对象，由功能关系可知，轻绳拉力与摩擦力做的总功等于物块B的机械能增量，B错误；以A物块为争辩对象，由功能关系可知，轻绳拉力做的功等于物块A的机械能变化量，C正确；以物块A、B组成的系统为争辩对象，摩擦力做的功等于系统机械能的变化量，D正确。
答案 CD
考点一 对功能关系的理解与应用
功是能量转化的量度。力学中的功与对应的能量的变化关系如下表所示：
功
能量转变
关系式
W合：合外力的功(全部外力的功)
动能的转变量(ΔEk)
W合＝ΔEk
WG：重力的功
重力势能的转变量(ΔEp)
WG＝－ΔEp
W弹：弹簧弹力做的功
弹性势能的转变量(ΔEp)
W弹＝－ΔEp
W其他：除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功
机械能的转变量(ΔE)
W其他＝ΔE
f·Δs：一对滑动摩擦力做功的代数和
因摩擦而产生的内能(Q)
f·Δs＝Q(Δs为物体间的相对位移)
【例1】 (2022·广东卷，16)如图3所示，是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( )
图3
A．缓冲器的机械能守恒
B．摩擦力做功消耗机械能
C．垫板的动能全部转化为内能
D．弹簧的弹性势能全部转化为动能
解析 由于楔块与弹簧盒、垫板间有摩擦力，即摩擦力做负功，则机械能转化为内能，故A错误，B正确；垫板动能转化为内能和弹性势能，故C错误；而弹簧弹性势能也转化为动能和内能，故D错误。
答案 B
【变式训练】
1．(多选)(2022·东莞市调研测试)如图4所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最终停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是( )
图4
A．物体B动能的削减量等于系统损失的机械能
B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量
解析 物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，B减速运动，A加速运动，依据能量守恒定律，物体B动能的削减量等于A增加的动能和产生的热量之和，选项A错误；依据动能定理，物体B克服摩擦力做的功等于B损失的动能，选项B错误；由能量守恒定律可知，物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和，选项C正确；摩擦力对物体B做的功等于B动能的削减量，摩擦力对木板A做的功等于A动能的增加量，由能量守恒定律，摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量，选项D正确。
答案 CD
考点二 能量守恒定律的应用
应用能量守恒定律的解题步骤
1．选取争辩对象和争辩过程，了解对应的受力状况和运动状况。
2．分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等。
3．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量削减，并且列出削减的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
4．列出能量转化守恒关系式：ΔE减＝ΔE增，求解未知量，并对结果进行争辩。
【例2】 (多选)如图5为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置马上将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是( )
图5
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，削减的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
解析 依据功能关系知，木箱在下滑和上滑时克服摩擦力所做功等于接触面之间产生的内能。
木箱下滑时Q1＝Wf1＝μ(M＋m)glcos 30°①
木箱上滑时Q2＝Wf2＝μMglcos 30°②
木箱从开头下滑到弹簧压缩至最短的过程中，设弹簧的最大弹性势能为Epmax，则依据能量转化与守恒定律得
(M＋m)glsin 30°＝Q1＋Epamx③
卸下货物后，木箱被弹回到轨道顶端的过程中，同理有
Epmax＝Mglsin 30°＋Q2④
联立①②③④并将μ＝代入得m＝2M，A错误，B正确；
同时，从③式可以看出，木箱下滑的过程中，克服摩擦力和弹簧弹力做功，因此削减的重力势能一部分转化为内能，一部分转化为弹簧的弹性势能，故D错误；
木箱不与弹簧接触时，依据牛顿其次定律得：
下滑时(M＋m)gsin 30°－μ(M＋m)gcos 30°＝(M＋m)a1
上滑时Mgsin 30°＋μMgcos 30°＝Ma2
解得a1＝，a2＝，故C正确。
答案 BC
【变式训练】
2. (2022·福建5月质检)如图6所示，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径为r的细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐。质量为m的滑块在曲面上距BC的高度为2r处从静止开头下滑，滑块与BC间的动摩擦因数μ＝，进入管口C端时与圆管恰好无作用力，通过CD后压缩弹簧，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧的弹性势能为Ep。求：
图6
(1)滑块到达B点时的速度大小vB；
(2)水平面BC的长度s；
(3)在压缩弹簧过程中滑块的最大速度vm。
解析 (1)滑块在曲面上下滑过程，由动能定理得
mg·2r＝mv，
解得vB＝2
(2)在C点，由mg＝m得vC＝
滑块从A点运动到C点过程，由动能定理得
mg·2r－μmgs＝mv
解得s＝3r
(3)设在压缩弹簧过程中速度最大时，滑块离D端的距离为x0，则有kx0＝mg，得x0＝
由能量守恒得mg(r＋x0)＝mv－mv＋Ep
得vm＝
答案 (1)2 (2)3r (3)
考点三 摩擦力做功的特点及应用
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零。
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。
(3)摩擦生热的计算：Q＝fs相对。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。
【例3】 如图7所示，与水平面夹角为θ＝30°的倾斜传送带始终绷紧，传送带下端A点与上端B点间的距离为L＝4 m，传送带以恒定的速率v＝2 m/s向上运动。现将一质量为1 kg的物体无初速度地放于A处，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝，取g＝10 m/s2，求：
图7
(1)物体从A运动到B共需多少时间？
(2)电动机因传送该物体多消耗的电能。
解析 (1)物体无初速度放在A处后，因mgsin θ<μmgcos θ，则物体沿传送带向上做匀加速直线运动。
加速度a＝＝2.5 m/s2
物体达到与传送带同速所需的时间t1＝＝0.8 s
t1时间内物体的位移s1＝t1＝0.8 m
之后物体以速度v做匀速运动，运动的时间
t2＝＝1.6 s
物体运动的总时间t＝t1＋t2＝2.4 s
(2)前0.8 s内物体相对传送带的位移为
Δs＝vt1－s1＝0.8 m
因摩擦而产生的内能E内＝μmgcos θ·Δs＝6 J
电动机因传送该物体多消耗的电能为
E总＝Ek＋Ep＋E内＝mv2＋mgLsin θ＋E内＝28 J
答案 (1)2.4 s (2)28 J
传送带模型问题的分析流程
【变式训练】
3．如图8所示，水平传送带两端点A、B间的距离为l，传送带开头时处于静止状态。把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1。随后让传送带以v2的速度匀速运动，此人仍旧用相同的恒定的水平力F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A滑行到
B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2。下列关系中正确的是( )
图8
A．W1＝W2，P1＜P2，Q1＝Q2
B．W1＝W2，P1＜P2，Q1＞Q2
C．W1＞W2，P1＝P2，Q1＞Q2
D．W1＞W2，P1＝P2，Q1＝Q2
解析 由于两次的拉力和拉力方向的位移不变，由功的概念可知，两次拉力做功相等，所以W1＝W2，当传送带不动时，物体运动的时间为t1＝；当传送带以v2的速度匀速运动时，物体运动的时间为t2＝，所以其次次用的时间短，功率大，即P1＜P2；一对滑动摩擦力做功的确定值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，也等于转化的内能，其次次的相对路程小，所以Q1＞Q2，选项B正确。
答案 B
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