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开卷速查(三十七) 合情推理与演绎推理
A级 基础巩固练
1．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀ x∈R恒成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n
解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且留意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.
答案：A
2．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①②正确，③错误．由于两个复数假如不全是实数，不能比较大小.
答案：C
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B.大前提不正确
C．小前提不正确 D.全不正确
解析：由于f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
答案：C
4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1个 B.2个
C．3个 D.4个
解析：①②正确；③④⑤⑥错误．
答案：B
5．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B.－f(x)
C．g(x) D.－g(x)
解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案：D
6．观看如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为( )
A．Sn＝2n B.Sn＝4n
C．Sn＝2n D.Sn＝4n－4
解析：由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn＝4n－4.
答案：D
7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观看上述结果，可推想一般的结论为__________．
解析：由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.
答案：f(2n)≥
8．观看下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为__________．
解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
9．在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，假如用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S
10．某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：方法一：
(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－
sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－
sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
方法二：
(1)同解法一．
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
B级 力气提升练
11．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝a(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推想a，t的值，则t－a＝( )
A．31 B.41
C．55 D.71
解析：观看所给的等式，等号左边是 ， ， ，…，等号的右边是2，3，…，则第n个式子的左边是 ，右边是(n＋1)·，故a＝7，t＝72－1＝48.t－a＝41，选B.
答案：B
12．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B.76
C．123 D.199
解析：记an＋bn＝f(n)，则
f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
即a10＋b10＝123.
答案：C
13．对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间情形应当是：若O是四周体ABCD内一点，则有__________．
解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O为四周体ABCD内一点，则有VOBCD·＋VOACD·＋VOABD·＋VOABC·＝0.
答案：VOBCD·＋VOACD·＋VOABD·＋VOABC·＝0
14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示为她们刺绣的最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越秀丽．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
① ② ③ ④
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并依据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解析：(1)f(5)＝41.
(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－.
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