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宿迁市2022—2021学年度高三班级第一次考试
数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）由余弦定理得，， …………………………3分
由于，，，
所以，即 …………………………5分
解之得，（舍去）．
所以. ……………………………7分
（2）由于，，
所以 ……………………………9分
……………………………11分
．
(第16题图)
P
B
C
A
D
O
所以 ． ……………………………………14分
16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．
由于四边形ABCD为菱形，所以 ……2分
又由于，O为BD的中点，
所以 ……………………………………4分
又由于
所以，
又由于
所以……………………………………7分
（2）由于四边形ABCD为菱形，所以 …………………………9分
由于．
所以 ………………………………………11分
又由于，平面平面．
所以． ………………………………………………14分
17．(1)由题意知，， …………………………………2分
， …………………………………5分
由于为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，
所以
所以 ， …………………………………………7分
(2)记,则， ………………………………9分
令，得， ………………………………………………11分
列表
x
(0，)
(，)
＋
0
－
f (x)
递增
极大值
递减
所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分
即，
答：观光路线总长的最大值为千米． ……………………………14分
18．（1）由于，
所以， ……………………2分
令，由于，得或， ……………………5分
所以的单调增区间为和； ……………………6分
（2）由于对任意且，均有成立，
不妨设，依据在上单调递增，
所以有对恒成立，……………………8分
所以对，恒成立，
即对，恒成立，
所以和在都是单调递增函数，………………11分
当在上恒成立，
得在恒成立，得在恒成立，
由于在上单调减函数，所以在上取得最大值，
解得． ………………………………13分
当在上恒成立，
得在上恒成立，即在上恒成立，
由于在上递减，在上单调递增，
所以在上取得最小值，
所以， ……………………………15分
所以实数的取值范围为． ………………………16分
19．（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，
由于直线，相互垂直，且和圆相切，
所以，即，①………………………………………1分
又点在椭圆上，所以，②……………………………………2分
联立①②，解得 ……………………………………………………3分
所以所求圆的方程为． ………………………4分
（2）由于直线：，：，与圆相切，
所以,化简得………………6分
同理，……………………………………………7分
所以是方程的两个不相等的实数根，
…………………………8分
由于点在椭圆C上，所以，即，
所以，即． ………………………………10分
（3）是定值，定值为36，……………………………………………11分
理由如下：
法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
联立解得………………………………………12分
所以，同理，得，…………13分
由，
所以
………………………………………………………15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,明显有，
综上：． ……………………………………………………16分
法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,
由于，所以,即， ……………12分
由于在椭圆C上，所以，
即， ……………………………………………13分
所以，整理得，
所以，
所以． ……………………………………………………15分
(ii)当直线落在坐标轴上时,明显有，
综上：． ………………………………………………16分
20．（1）设数列的首项为，公差为，
由，，得， ……………………2分
解得，
所以……………………………………………4分
（2）①由于，
若，，
由于，
所以，，此方程无整数解； ………………6分
若，，
由于，
所以，，此方程无整数解；………………8分
若，，
由于，
所以，，解得，
所以，满足题意…………………………………………………10分
②由①知，，，则，，，
一般的取， ………………………13分
此时，，
则＝－＝，
所以为一整数平方．
因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．……16分
数学Ⅱ部分
21．【选做题】
A．(选修4—1：几何证明选讲)
由于BE切⊙O于点B，所以，
（第21—A题图）
由于，，由余弦定理得．………4分
又由于，所以，…………………8分
所以． ………………10分
B．（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵，这里，
由于是矩阵A的属于的特征向量，则有 ①， ……4分
又由于是矩阵A的属于的特征向量，则有 ② …6分
依据①②，则有 …………………………………………………8分
从而所以． ……………………………10分
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
由得两式平方后相加得， …………4分
由于曲线是以为圆心，半径等于1的圆．得．
即曲线的极坐标方程是． …………………………10分
D．（选修4－5：不等式选讲）
由于 ……………………………5分
所以原不等式解集为R等价于 所以
所以实数的取值范围为． ………………………10分
22．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）由于AB=AC=1，3，，
所以各点的坐标为,，，．
，． …………2分
由于,，
所以．所以向量和所成的角为，
所以异面直线与所成角为． ……………4分
z
y
x
F
E
B
1
A
C
B
A
A
（2）由于，，所以．
设平面的法向量为，
则，且．
即，且．令，则．
所以是平面的一个法向量． ………6分
又，则，
又由于直线与平面所成角的正弦值为，
所以，解得，． ………………10分
23．（1）由于 ，
当时，由，即有，
解得．由于为正整数，故． ………………………………2分
当时，由，
解得，所以． …………………………………………………4分
（2）由，，，猜想：………………………………5分
下面用数学归纳法证明．
1º当，，时，由（1）知均成立．……………………………6分
2º假设成立，则，
由条件得，
所以， ………………………………………8分
所以 …………………………9分
由于，，，
又，所以．
即时，也成立．
由1º，2º知，对任意，． ……………………………………10分
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