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江苏省启东中学2021～2022学年度第一学期第一次阶段测试
高三数学试题
命题人：俞向阳
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合，，则 ．
2．命题“，”的否定是 ．
3．在和中间插入3个实数，，，使这5个数成等比数列，则 ．
4．已知，，则 ．
5．函数在区间上的零点个数为 ．
6．已知定义在上的函数的值域为，则的单调增区间为 ．
7．函数在区间上的最大值与最小值之和是 ．
8．等差数列的前项的和为30，前项的和为100，求它的前项的和为 ．
9．若、均为锐角，且，，则 ．
10．函数是上的奇函数，满足，当时，，则
．
11．假如若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）
12．已知是单位圆的内接三角形，是圆的直径，若满足，
则 ．
13．已知直线与曲线和曲线均相切，则这样的直线的条数为 ．
14．已知数列满足，且，，则 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． (本小题满分14分)
已知集合，．
⑴若，求；
⑵若，求实数的取值范围．
16．(本小题满分14分)
已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．
⑴求角的值；
⑵若，，成等差数列，试推断的外形．
17．(本小题满分14分)
已知向量，，满足，且与的夹角等于，与的夹角等于，
，求，．
18．(本小题满分16分)
设是等比数列的前项和，，，成等差数列．
⑴设此等比数列的公比为，求的值；
⑵问：数列中是否存在不同的三项，，成等差数列？若存在，求出，，满足
的条件；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分16分)
已知各项均为正数的数列的前项和为，满足：(其中
为常数)．
⑴若，，数列是等差数列，求的值；
⑵若数列是等比数列，求证：．
20．(本小题满分16分)
已知函数(其中是自然对数的底数)，，．
⑴记函数，当时，求的单调区间；
⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数
的取值范围．
江苏省启东中学2021～2022学年度第一学期第一次阶段测试
高三数学试题参考答案
一、填空题
1．； 2．，； 3．27； 4．；
5．1； 6．（也对）； 7．16； 8．210；
9．； 10．； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．
二、解答题
15．解：由题意知，；
⑴当时，，
； …………………………………………………………6分
⑵，；
①当时，，不符合题意； …………………………………………………8分
②当时，，由得：； ………………………………………11分
③当时，，此时，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为． …………………………………………14分
16．解：⑴由正弦定理，得：，
整理，得：， ………………………………………………………4分
由余弦定理，得：，
是的内角，； ………………………………………………………7分
⑵，，成等差数列，，
由⑴可知，，
，整理，得：，…………………………………12分
由，得，，
是等边三角形．……………………………………………………………14分
（注：本题其次小问可以用角的化简来处理）
17．解：由得：， ………………………5分
， …………………………………………10分
解之，得：，． …………………………………………14分
（注：本题可先推断，或利用平行四边形法则或三角形法则来做）
18．解：⑴，，成等差数列，，，
即， …………………………………4分
， …………………………………………6分
，；………………………………………8分
⑵存在不同的三项，，成等差数列． ………………………………………10分
，，；……………………………12分
一般地，当，且时，有，，成等差数列． …………16分
（注：若利用等比数列求和公式，则必需争辩公比是否等于1，不争辩者扣3分）
19．解：⑴由题意知，，
，
两式相减，得：， …………………………2分
整理，得：，
，， …………………………………………4分
数列是等差数列，， …………………………………………6分
由得：，，
，； ……………………………………………………8分
⑵由得，
两式相减，得：， ………………………………10分
设等比数列的公比为，，
，由已知，可知，…………………………………12分
，不是常数列，； ………………………………………14分
，而且，，
． ………………………………………………………………………………16分
20．解：⑴， ，
得或， ……………………………………………………………2分
列表如下：（，）
极大值
微小值
……………………………………………………………………………………4分
的单调增区间为：，，减区间为； ……………6分
⑵设，是单调增函数，，
；………8分
①由得：，
即函数在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立；
令，，
时，；时，；
，
； …………………………………………………………12分
②由得：，
即函数在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立；
函数在上单调递减，当时，，
，
综上所述，实数的取值范围为．…………………………………………16分
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