【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题训练-13圆锥曲线.docx

专题训练13　圆锥曲线Ⅱ
基础过关
1. 抛物线x2＝4ay的准线方程为(　　)
A. x＝－a B. x＝a
C. y＝－a D. y＝a
2. 方程x2＋2y2＝4所表示的曲线是(　　)
A. 焦点在x轴的椭圆 B. 焦点在y轴的椭圆
C. 抛物线 D. 圆
3. 椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(0<k<9)有(　　)
A. 等长的长轴 B. 相等的焦距
C. 相等的离心率 D. 等长的短轴
4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1或＋＝1 D. ＋＝1
5. 假如方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. (1，2) C. (，1) D. (0，1)
6. 已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为(　　)
A. x2＝－28y B. y2＝28x
C. y2＝－28x D. x2＝28y
7. 焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A. －＝1　 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
8. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±x D. y＝±x
9. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假如x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A. 8　　　 B. 10　　　 C. 6　　　 D. 4
10. 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A. 4　　 　 B. 6　　 　 C. 8　　 　 D. 12
11. 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是(　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
13. 动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点(　　)
A. (4，0) B. (2，0) C. (0，2) D. (0，－2)
14. 设P是椭圆＋＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
15. 椭圆x2＋my2＝1的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)
A. B. C. 2 D. 4
16. 已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
17. 若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4，0)，离心率为，则椭圆的标准方程为____________________________．
18. 设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．
19. 已知点A(－2，0)，B(2，0)，过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程．

20. 已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

冲刺A级
21. 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点．若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A. (1，3) B. (1，2) C. (1，3] D. (1，2]
22. 已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0), △ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1(x>3) D. －＝1(x>4)
23. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
24. 过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．

25. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
(2)设过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．

专题训练13　圆锥曲线Ⅱ
1. C
2. A　[提示：依据椭圆的定义得到焦点在x轴上．]
3. B　[提示： 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故答案为B.]
4. C　[提示：∵长轴长2a＝12，∴a＝6.又∵e＝∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，∵焦点不定，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.]
5. D　[提示：把方程x2＋ky2＝2化为标准形式＋＝1，依题意有>2，∴0<k<1.]
6. B　[提示：由条件可知＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故抛物线方程为y2＝28x.]
7. B　[提示：与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)．又∵双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为－＝1.∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为－＝1.]
8. D　[提示： ∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.又∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.]
9. A　[提示：由题意，得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6＋2＝8.]
10. B　[提示：由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.]
11. D　[提示：△ABF1为等边三角形，∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2，∴e＝＝＝＝.]
12. B　[提示：本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝或e＝－1(舍)，故选B.]
13. B　[提示：直线x＋2＝0是抛物线的准线，又由于动圆的圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2，0)．]
14. D　[提示：由题可知a＝5，P为椭圆上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.]
15. A　[提示：椭圆方程可化为＋＝1，由焦点在y轴上可得长半轴长为，短半轴长为1，所以＝2，解得m＝.]
16. 1　[提示：由题意知＝，解得b＝1.]
17. ＋＝1或＋＝1　[提示：若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝，可得c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝4，由e＝，可得＝，∴c2＝a2.又a2－c2＝b2，∴a2＝16，a2＝64.∴椭圆方程为＋＝1.]
18. 1　[提示： 由题设知|PF1|－|PF2|＝4①，|PF1|2＋|PF2|2＝20②，得|PF1|·|PF2|＝2.∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1.]
19. 解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)①，椭圆方程为＋＝1(a2>4)②.由于直线l与圆x2＋y2＝1相切， 故＝1，解得k2＝.将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，由题意有＝2×(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为＋＝1.
20. 解：设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y12＝6x1，y22＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝×＝.
冲刺A级
21. C　[提示：＝＝|PF1|＋＋4a≥8a，当|PF1|＝，即|PF1|＝2a时取等号．又∵|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a.∴c≤3a，即e≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1，3]．]

(第22题)
22. C　[提示： 如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.依据双曲线定义，所求轨迹是：以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1 (x>3)．]

23. 2　[提示：如图，设双曲线一个焦点为F，则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.∴c＝2a，∴e＝＝2.]

(第23题)

24. 2　[提示： 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由得y2＋4y－4＝0，∴|y1－y2|＝＝＝4.∴S△POQ＝|OF||y1－y2|＝2.]
25. 解：(1)由题意可知c＝1，＝，所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1，左顶点P的坐标是(－2，0)．　(2)依据题意可设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.所以Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0，y1＋y2＝－，y1y2＝－.所以△PAB的面积S＝＝×3×＝＝.由于△PAB的面积为，所以＝.令t＝，解得t1＝(舍去)，t2＝2.所以m＝±.所以直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.