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第三节 简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．假如命题“綈(p∨q)”是假命题，那么正确的是( )
A．p，q均为真命题
B．p，q中至少有一个为真命题
C．p，q均为假命题
D．p，q中至多有一个为真命题
解析 由题意知，p∨q为真命题，
所以p，q中至少有一个为真命题．
答案 B
2．已知命题p：若x∈N*，则x∈Z.命题q：∃x0∈R，x0－1＝0.则下列命题为真命题的是( )
A．綈p B．p∧q
C．綈p∨q D．綈p∨綈q
解析 明显命题p为真；由于对∀x∈R，都有x－1>0，所以命题q为假，所以綈q为真，由“或”“且”“非”命题的真值表知D正确．
答案 D
3．“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A．∃x0∈R，使得f(x0)>0成立
B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C．∀x∈R，总有f(x)>0成立
D．∀x∈R，总有f(x)≤0成立
解析 “对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R，使得f(x0)>0成立，故选A.
答案 A
4．(2021·烟台模拟)下列命题的否定为假命题的是( )
A．∃x0∈(－∞，0)，使得2x0<3x0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．全部能被3整除的整数都是奇数
D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1
解析 对于A，∀x∈(－∞，0)，总有2x>3x成立，故A假；对于B，一般平行四边形的四个顶点就不共圆，所以B假；对于C,6能被3整除但不是奇数；D明显正确．综上应选D.
答案 D
5．已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p或q”为假，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.∪
解析 当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.若q为假，则a∈.若使“p或q”为假，则a∈∩，即a∈.故选A.
答案 A
6．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析 满足命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的实数a即为不等式x2－a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值范围，即a≥x2在[1,2]上恒成立，即a≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a>4的即为所求，选项C符合要求．
答案 C
二、填空题
7．(2022·临沂模拟)命题“存在实数x0，使x＋2x0－8＝0”的否定是________________________________________________________________________．
解析 特称命题的否定为全称命题．所以命题的否定是对任意实数x，都有x2＋2x－8≠0.
答案 对任意实数x，都有x2＋2x－8≠0
8．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．
解析 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根．”
答案 存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根
9．已知下列结论：
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件，
其中正确的是________(只填序号)．
解析 p∧q为真时，p，q均为真，此时p∨q肯定为真，而p∨q为真时只要p，q至少有一个为真即可，故“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件，结论①正确；p∧q为假，可能p，q均假，此时p∨q为假，结论②不正确；綈p为真时，p假，此时p∧q肯定为假，条件是充分的，但在p∧q为假时，可能p真，此时綈p为假，故“綈p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件，结论③不正确．
答案 ①
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并推断真假：
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：∃x∈R，|x|>0.
解 (1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
11．已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
解 ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0<c<1，
即p：0<c<1.
∵c>0且c≠1，∴綈p：c>1.
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.
即q：0<c≤，∵c>0且c≠1，∴綈q：c>且c≠1.
又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假．
①当p真，q假时，
{c|0<c<1}∩＝.
②当p假，q真时，{c|c>1}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是.
1．已知命题p：若t≠3且t≠－3，则t2≠9；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是( )
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析 命题p不好直接推断真假，由于互为逆否的两个命题同真同假，而若t2＝9，则t＝3或t＝－3为真命题，所以p为真命题．由于命题q是真命题，所以綈p为假命题，(綈p)∨(綈q)为假命题，p∧q为真命题，从而得①②③④都正确．
答案 D
2．甲、乙、丙、丁四人在餐馆聚会，其中有一人买单，当甲的妻子询问是谁买单时，他们的回答如下．甲：不是我买的单；乙：是丁买的单；丙：是乙买的单；丁：不是我买的单．这四个人中只有一个人说了真话，由此可见，您能判定买单的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 乙和丁的话是冲突关系，即乙且丁为假，乙或丁为真，所以乙与丁必有一真必有一假，则甲和丙说的都是假话，故很简洁得出答案即买单的人是甲．
答案 A
3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a和函数g(x)＝2x＋，对任意x1∈[－1，＋∞)，总存在x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
解析 由于f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
所以f(x)∈[a－1，＋∞)．
由于g(x)＝2x＋在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，
所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
答案 (－∞，－1]
4．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，1<x<3.
由
解得
即2<x≤3.
所以q为真时，2<x≤3.
若p∧q为真，则⇔2<x<3，
所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)由于綈p是綈q的充分不必要条件，
所以q是p的充分不必要条件，
则有(2,3](a,3a)．于是满足
解得1<a≤2，故所求a的取值范围是(1,2]．
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