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其次节 命题及其关系、充分条件与必要条件
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由(2x－1)x＝0⇒x＝0或x＝，所以应选B.
答案 B
2．命题“若a>b，则a3>b3”的逆否命题是( )
A．若a≥b，则a3≥b3 B．若a>b，则a3≤b3
C．若a≤b，则a3≤b3 D．若a3≤b3，则a≤b
解析 由逆否命题的含义知，D正确．
答案 D
3．命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．不确定
解析 当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；依据原命题与逆否命题真假全都，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a<0”，由于方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤，明显a<0不肯定成立，故逆命题为假；依据否命题与逆命题真假全都，可知否命题为假．故正确的命题有2个．
答案 B
4．已知a，b，c是实数，则b2≠ac是a，b，c不成等比数列的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由于命题“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”的逆否命题为“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题，所以b2≠ac是a，b，c不成等比数列的充分条件；由于“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，所以“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”是假命题，即b2≠ac不是a，b，c不成等比数列的必要条件．故选A.
答案 A
5．(2022·东北三省二模)已知p：x≥k，q：<1，假如p是q的充分不必要条件，那么k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析 q：<1⇒－1<0⇒<0⇒(x－2)·(x＋1)>0⇒x<－1或x>2.
由于p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.
答案 B
6．(2021·济宁模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 函数f(x)＝x2－2ax＋b，所以f(1)＝1－2a＋b，f(3)＝9－6a＋b,1<a<2，所以1－2a<9－6a，即f(1)<f(3)；反过来，f(1)<f(3)时，得1－2a＋b<9－6a＋b得a<2，不能得到1<a<2，所以“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的充分不必要条件．
答案 A
二、填空题
7．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．
解析 其中原命题和逆否命题为假命题，逆命题和否命题为真命题．
答案 2
8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案 －1
9．下面有四个关于充要条件的命题：
①若x∈A，则x∈B是A⊆B的充要条件；
②函数y＝x2＋bx＋c为偶函数的充要条件是b＝0；
③x＝1是x2－2x＋1＝0的充要条件；
④若a∈R，则a>1是<1的充要条件；
其中真命题的序号是________．
解析 由子集的定义知，命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c明显为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，则(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．当x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，反之，当x2－2x＋1＝0时，x＝1，所以③为真．对于④，由于<1⇔>0，即a>1或a<0，故a>1是<1的充分不必要条件，所以④为假．
答案 ①②③
三、解答题
10．π是圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出命题p的否定并推断真假；
(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并推断真假；
(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．
解 (1)原命题p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”，真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”，真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”，真命题．
(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．
证明如下：
充分性：若a＝c，则aπ＝cπ，
∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.
必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b，
即(a－c)π＝d－b.
∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0，即a＝c，b＝d.
∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．
11．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
解 化简集合A，由y＝x2－x＋1，得y＝2＋.
∵x∈，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈，∴A＝.
化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵p是q的充分条件，∴A⊆B.
∴1－m2≤，解得m≥或m≤－.
∴实数m的取值范围是∪.
1．钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 依据等价命题，廉价⇒没好货，等价于，好货⇒不廉价，故选B.
答案 B
2．(2022·天津卷)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.
再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.
综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．
答案 C
3．(2022·福建卷)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1,0)，B(0,1)，则S△AOB＝×1×1＝，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝，所以必要性不成立．
答案 A
4．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．
解 由于“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有
⇒⇒m≥.
又集合关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
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