资源描述
2021年“四地六校”高三围题
理科数学试卷
一．选择题
1．已知全集为R，集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩B＝( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}
2. 若复数满足为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )
A． B． C． D．6
4．（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ ）
A．确定是奇函数 B．确定是偶函数
C．确定是奇函数 D．确定是偶函数
5. 下列说法正确的是 （ ）
A. “”是“”的充要条件
B. “，”的否定是“”
C. 接受系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参与活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班同学人数可能为60
D. 在某项测量中，测量结果听从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.8
6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
A.1008 B.2021
C.1007 D.-1007
x
y
第7题
x
y
7.下图可能是下列哪个函数的图象( )
. .
. .
8.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（第9题图）
9．如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
10. 非空集合关于运算满足：（1）对任意的都有(2)存在都有 (3) 对任意的 都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：
① ＝｛非负整数｝，为整数的加法。
② ＝｛奇数｝，为整数的乘法。
③ ＝｛平面对量｝为平面对量的数量积。
④ ④＝｛二次三项式｝，为多项式加法。
⑤ ＝｛虚数｝，为复数的乘法。其中关于运算为“融洽集”的是 （ ）
A．①④⑤ B．①② C．①②③⑤ D．②③⑤
二．填空题
11．设，则二项式的开放式的常数项是_________.
12．假照实数满足条件：，则的最大值是 。
单价(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量 (件)
90
84
83
80
75
68
13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如右数据:
由表中数据,求得线性回归方程为.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为_______.
14. 平面对量满足，，，，则的最小值为 .
15．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：
（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为函数的“和谐区间”。下列函数中存在“和谐区间”的是 .
①， ②，
③， ④，
三．解答题
16. (本小题满分13分)
在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若,,求向量在方向上的投影.
17．（13分）某联欢晚会进行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；
（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
E
P
O
C
B
A
D
18.（本题满分13分）如图,在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点， 为上任意一点.
(I)证明：平面平面；
(II)若平面，并且二面角的大小为，求的值.
19.已知离心率为的椭圆 的右焦点F是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N(与P点不重合)两点
(1)求椭圆方程
(2)求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标
20.（本小题满分14分）
已知函数（）.
（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，
求实数的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，（），
求证：.
21.（选修）（1）7分(矩阵)已知a,b为实数,假如矩阵A=所对应的变换T把直线x-y=1变换为自身,试求a,b的值.
(2)7分（极坐标与参数方程）已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋.
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
（3）已知不等式的解集与不等式的解集相同．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的最大值及取得最大值时的值．
2022-2021数学（理科）试卷答案
一．选择题
1-10.CDCDD DCBBA
二．填空题
11．-160 12． 13． 14. 15．①③④
三．解答题
16. 【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）
解析 ：解：由,得
,
即,
则,即 6分
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
依据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为 13分
17．【解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的大事为A，则大事A的对立大事为“X＝5”，
由于P(X＝5)＝×，所以P (A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以 .……6分
（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.
若E(2X1) E(3X2)，则6；
若E(2X1) E(3X2)，则6；
若E(2X1) E(3X2)，则=6；
综上所述，当时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等…………13分
18.【解析】:(I) 由于，，
又是菱形，，故平面
平面平面…….4分
(II)解：连结，由于平面，
所以，所以平面
又是的中点，故此时为的中点，
以为坐标原点，射线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
设则，
向量为平面的一个法向量……….8分
设平面的一个法向量，
则且，
即，
取，则，则………10分
解得
故……………………………13分
19.【解析】（1）圆心坐标（1，0），所以c=1，又，∴
故b=1,故椭圆方程为 ……… 4分
(2)设P（，，
∴ ………… 6分
直线PM的方程
∴
同理
∴m,n是方程两实根
由韦达定理： ……… 9分
…11分
令 ，
明显由f(x)的单调性知
∴，此时
故P点坐标为（），即椭圆左顶点 ……………… 14分
20.【解析】：（Ⅰ）函数的定义域为，
，依题意在时恒成立，
则在时恒成立，即，
当时，取最小值-1，所以的取值范围是…………4分
（Ⅱ），由得在上有两个不同的实根，
设
，时，，时，
，，
，得 则……9分
（Ⅲ）易证当且时，.
由已知条件，
故所以当时，，相乘得又故，即………14分
21.（1） 设点(x,y)是直线x-y=1上任意一点,在变换T作用下的对应点为(x',y'),
则 =,所以由题意知x'-y'=1,所以ax+y-by=1,即ax+(1-b)y=1,
所以所以
(2)．解：(1)∵ρ＝cos θ－sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0.即＋＝1，
∴圆心C的直角坐标为.
(2) 直线l上的点向圆C引切线，切线长是
＝＝≥2 .
∴直线l上的点向圆C引的切线的切线长的最小值是2 .
（3）解：（Ⅰ）不等式的解集为，
所以方程的两根为.
∴ 解得. ……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，＝，
定义域为.
所以.
则，当且仅当时取等号.
故当时，的最大值为. …………………7分
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
