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课时跟踪训练
1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.
解析：∵y′＝ex，∴k＝e0＝1.
答案：A
2．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解析：∵f′(x)＝x－sin x，∴f′(x)为奇函数，排解B，D.又当x＝－时，f′(x)＝－＝＞0，排解C，故选A.
答案：A
3．(2022年嘉兴二模)已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：∵f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.
答案：C
4．(2022年惠州二模)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
解析：设P(x0，y0)，倾斜角为α，由题意知y′＝2x＋2，则点P处的切线斜率k＝tan α＝2x0＋2∈[0,1]，解得x0∈.
答案：A
5．曲线f(x)＝x－上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，则此定值为( )
A．1 B．3
C．6 D．4
解析：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
答案：C
6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.
依据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，
可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，
又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，
所以y＝f(x)的图象在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
答案：B
7．已知f(x)是偶函数，当x∈时，f(x)＝xsin x，若a＝f(cos 1)，b＝f(cos 2)，c＝f(cos 3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．b＜c＜a
解析：由于函数为偶函数，故b＝f(cos 2)＝f(－cos 2)，c＝f(cos 3)＝f(－cos 3)，由于x∈，f′(x)＝sin x＋xcos x≥0，即函数在区间上为增函数，据单位圆中三角函数线易得0＜－cos 2＜cos 1＜－cos 3＜，依据函数单调性可得f(－cos 2)＜f(cos 1)＜f(－cos 3)，故选B.
答案：B
8．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：设f(x)＝＋ln x，
则f′(x)＝＋＝.
当x∈时，f′(x)＜0，故函数f(x)在上单调递减；
当x∈(1,2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.
答案：A
9．函数y＝－2sin x的图象大致是( )
解析：由于y′＝－2cos x，所以令y′＝－2cos x＞0，得cos x＜，此时原函数是增函数；令y′＝－2cos x＜0，得cos x＞，此时原函数是减函数，并且原函数是奇函数，其极值点有很多多个，只有C满足．
答案：C
10．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)＜3，则不等式f(x)＜3x－15的解集为( )
A．(－∞，4) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：令g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－3＜0，所以g(x)在R上是减函数，又由于g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以f(x)＜3x－15的解集为(4，＋∞)．
答案：D
11．(2022年开封模拟)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．
解析：设y＝x2－ln x(x＞0)，则y′＝2x－，令y′＝0，得x＝.易知当x＝时y取得最小值．∴t＝.
答案：
12．(2022年江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析：由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋①.又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－ ②.由①②解得所以a＋b＝－3.
答案：－3
13．若函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x∈________.
解析：由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f(mx－2)＋f(x)＜0可变形为f(mx－2)＜f(－x)，∴mx－2＜－x，将其看作关于m的一次函数g(m)＝x·m－2＋x，m∈[－2,2]，可得当m∈[－2,2]时，g(m)＜0恒成立，若x≥0，g(2)＜0，若x＜0，g(－2)＜0，解得－2＜x＜.
答案：
14．已知a＞0，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在区间[－2,2]上单调递减，则4a＋b的最大值为________．
解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵函数f(x)在区间[－2,2]上单调递减，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0在[－2,2]上恒成立，∵a＞0，∴－＝－＜0，∴f′(x)max＝f′(2)≤0，即4a＋b≤－12，∴4a＋b的最大值为－12.
答案：－12
15．若实数a、b、c、d满足(b＋a2－3ln a)2＋(c－d＋4)2＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．
解析：由题可得b＝－a2＋3ln a，d＝c＋4.
设g(x)＝x＋x2－3ln x(x＞0)，则g′(x)＝1＋2x－＝，当x∈(0,1)时，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增，故g(x)≥g(1)＝2.则(a－c)2＋(b－d)2＝(c－a)2＋(－a2＋3ln a－c－4)2≥＝≥＝18.
答案：18
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