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1．甲，乙，丙三个同学同时报名参与某重点高校2022年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参与文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．由于甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75.
(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；
(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．
解 (1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为大事A1，A2，A3，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为大事B，则
P(B)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.
(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为大事C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为大事F.
则P(C)＝P(D)＝P(E)＝0.3，
∴P(F)＝C×0.32×0.7＋C×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.
2．某中学进行了一次“环保学问竞赛”活动．为了了解本次竞赛同学成果状况，从中抽取了部分同学的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．依据[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成果是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参与环保学问宣扬的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的同学个数，求ξ的分布列及其数学期望．
解 (1)由题意可知， 样本容量n＝＝50，y＝＝0.004，
x＝0.1－0.004－0.010－0.016－0.04＝0.030.
(2)由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在[80,90)的同学个数ξ的可能取值为1,2,3，则
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝.
所以，ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
3.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术竞赛，决出第一名至第五名的名次，竞赛之后甲、乙两位参赛者去询问成果，回答者对甲说“很圆满，你和乙都没有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．
(1)从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的状况；
(2)竞赛组委会规定，第一名获奖金1 000元，其次名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金．求丙获奖金数的期望．
解 (1)由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有A种可能；乙不是第五名，可见乙是其次、第三或第四名中的一种，有A种可能；上述位置确定后，甲连同其余2人可任意排列，有A种可能，故名次排列的可能状况的种数是A×A×A＝54.
(2)丙可能获第一名、其次名、第三名、第四名也可能获第五名．P(丙获第一名)＝；P(丙获其次名)＝＝＝；
P(丙获第三名)＝；P(丙获第四名)＝；P(丙获第五名)＝＝.
故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1 000、800、600、0，且P(X＝1 000)＝，P(X＝800)＝，P(X＝600)＝，P(X＝0)＝＋＝.
E(X)＝1 000×P(X＝1 000)＋800×P(X＝800)＋600×P(X＝600)＋0×P(X＝0)＝1 000×＋800×＋600×＝(元)．
4．学校设计了一个试验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，依据题目要求独立完成全部试验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
(2)用统计学学问分析比较甲、乙两考生哪位试验操作力量强及哪位通过考查的可能性大？
解 (1)设考生甲正确完成试验操作的题目个数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以，考生甲正确完成题目的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
(2)设考生乙正确完成试验操作的题目个数为η，
由于η～B(3，)，其分布列为：P(η＝k)＝C()k·()3－k，k＝0,1,2,3，所以E(η)＝3×＝2.
又由于D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(η)＝3××＝，所以D(ξ)＜D(η)．
又由于P(ξ≥2)＝＋＝0.8，
P(η≥2)＝＋≈0.74，
所以P(ξ≥2)＞P(η≥2)．
①从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率来看，甲获得通过的可能性较大．因此，可以推断甲的试验操作力量强．
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