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开卷速查(三十二) 数列的综合问题
A级 基础巩固练
1．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )
A．－20 B．0
C．7 D.40
解析：记等比数列{an}的公比为q(q≠1)，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，则S4＝＝－20.
答案：A
2．数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn＞1 025的最小n值是( )
A．9 B.10
C．11 D.12
解析：由于a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn＞1 025的最小n值是11.
答案：C
3．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于( )
A．n(2n＋3) B.n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D.2n(n＋4)
解析：由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.
答案：A
4．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的全部数的和是( )
A．130 B.325
C．676 D.1 300
解析：设两个连续偶数为2k＋2和2k(k∈N*)，则(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4××13＝676.
答案：C
5．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是( )
A．1 B.2
C．3 D.4
解析：依据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.
答案：A
6．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的其次项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )
A. B.
C. D.
解析：由y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，n∈N*.
∴bn＝，∴T10＝－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：B
7．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若S4≥4，S7≤28，则a10的最大值为__________．
解析：方法一：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S4≥4，S7≤28，∴
即
∴
∴≤a10≤4＋6d.
∴≤4＋6d，解得d≤2.
∴a10≤4＋6×2＝16.
方法二：同方法一，得
a10＝a1＋9d，由线性规划得a10的最大值为16.
答案：16
8．已知数列{an}的通项公式为an＝25－n，数列{bn}的通项公式为bn＝n＋k，设cn＝若在数列{cn}中，c5≤cn对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是__________．
解析：数列cn是取an和bn中的最大值，据题意c5是数列{cn}的最小项，由于函数y＝25－n是减函数，函数y＝n＋k是增函数，所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4，即5＋k≤25－5≤6＋k或25－5≤5＋k≤25－4，解得－5≤k≤－4或－4≤k≤－3，所以－5≤k≤－3.
答案：[－5，－3]
9．定义函数f(x)＝{x·{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x∈(0，n](n∈N*)时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则＋＋…＋＝________.
解析：由题意，a1＝1，当x∈(n，n＋1]时，{x}＝n＋1，x·{x}∈(n2＋n，n2＋2n＋1]，{x·{x}}的取值依次为n2＋n＋1，n2＋n＋2，…，n2＋2n＋1共n＋1个，即an＋1＝an＋n＋1，由此可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，＝＝2，
所以＋＋…＋＝2－.
答案：2－
10．[2022·四川]设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.
解析：(1)由已知，b1＝2a1，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，
解得d＝a8－a7＝2.
所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，
它在x轴上的截距为a2－.
由题意，a2－＝2－，解得a2＝2.
所以，d＝a2－a1＝1.
从而an＝n，bn＝2n，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋.
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
所以，Tn＝.
B级 力气提升练
11．[2022·湖北]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
解析：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n.明显2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
12．[2022·课标全国Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
解析：(1)由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得
{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
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