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库仑力作用下的平衡
图1－5－6
1．两个通电小球带电后相互排斥，如图1－5－6所示．两悬线跟竖直方向各有一个夹角α、β，且两球在同一水平面上．两球质量用m和M表示，所带电量用q和Q表示．若已知α＞β，则肯定有关系( )
A．两球肯定带同种电荷
B．m肯定小于M
C．q肯定大于Q
D．m受到的电场力肯定大于M所受电场力
答案 AB
解析 库仑力同样满足牛顿第三定律，满足共点力平衡条件．由图示可知两小球相互排斥，故A正确、D错误；偏角的大小与小球的质量和悬线的长度有关，故B正确．
电场线与运动轨迹
图1－5－7
2．一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图1－5－7中虚线所示．不计粒子所受重力，则( )
A．粒子带正电荷
B．粒子加速度渐渐减小
C．A点的速度大于B点的速度
D．粒子的初速度不为零
答案 BCD
解析 带电粒子所受合外力(即静电力)指向轨迹内侧，知静电力方向向左，粒子带负电荷．依据EA＞EB，知B项
正确；粒子从A到B受到的静电力为阻力，C项正确．由于电场线为直线，故粒子在A点速度不为零，D正确．
电场力与牛顿其次定律的结合
图1－5－8
3．用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C．现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直线成30°角，绳长L＝0.2 m，求：
(1)这个匀强电场的电场强度大小．
(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？
答案 (1)×107 N/C (2) m/s2 与绳子拉力方向相反
解析 (1)依据共点力平衡得，
qE＝mgtan 30°
解得E＝×107 N/C.
(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力，初速度为零，做匀加速直线运动．
F合＝＝ma
a＝ m/s2
加速度方向与绳子拉力方向相反.
题组一 对电场强度的理解
1．下列关于电场强度的说法中正确的是( )
A．公式E＝只适用于真空中点电荷产生的电场
B．由公式E＝可知，电场中某点的电场强度E与摸索电荷在电场中该点所受的电场力成正比
C．在公式F＝k中，k是点电荷Q2产生的电场在点电荷Q1处的场强大小；而k是点电荷Q1产生的电场在点电荷Q2处场强的大小
D．由公式E＝k可知，在离点电荷格外近的地方(r→0)，电场强度E无穷大
答案 C
解析 电场强度的定义式E＝适用于任何电场，故A错误；电场中某点的电场强度由电场本身打算，而与电场中该点是否有摸索电荷或引入摸索电荷所受的电场力无关，故B错误；点电荷间的相互作用力是通过电场产生的，故C正确；公式E＝是点电荷产生的电场中某点场强的计算式，当r→0时，所谓“点电荷”已不存在，该公式已不适用，故D错误．故选C.
图1－5－9
2．如图1－5－9所示，金属板带电量为＋Q，质量为m的金属小球带电量为＋q，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球与金属板中心O恰好在同一条水平线上，且距离为L.下列说法正确的是( )
A．＋Q在小球处产生的场强为E1＝
B．＋Q在小球处产生的场强为E1＝
C．＋q在O点产生的场强为E2＝
D．＋q在O点产生的场强为E2＝
答案 BC
解析 金属板不能看作点电荷，在小球处产生的场强不能用E＝计算，故A错误；依据小球处于平衡得小球受电场力F＝mgtan α，由E＝得：E1＝，B正确；小球可看作点电荷，在O点产生的场强E2＝，C正确；依据牛顿第三定律知金属板受到小球的电场力大小为F＝mgtan α，但金属板不能看作摸索电荷，故不能用E＝求场强，D错误．故选B、C.
图1－5－10
3．如图1－5－10所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处( )
A．场强大小为，方向沿OA方向
B．场强大小为，方向沿AO方向
C．场强大小为，方向沿OA方向
D．场强大小为，方向沿AO方向
答案 C
解析 A处放一个－q的点电荷与在A处同时放一个＋q和－2q的点电荷的效果相当．因此可以认为O处的场强是五个＋q和一个－2q的点电荷产生的场强合成的，五个＋q处于对称位置上，在圆心O处产生的合场强为0，所以O点的场强相当于－2q在O处产生的场强．故选C.
题组二 电场线、运动轨迹
图1－5－11
4．如图1－5－11所示的电场中，虚线为某带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则( )
A．粒子肯定带正电
B．粒子肯定是从a点运动到b点
C．粒子在c点加速度肯定大于在b点加速度
D．粒子在电场中c点的速度肯定大于在a点的速度
答案 AC
解析 曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电的粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A正确；粒子不肯定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，带电粒子在c点的受力较大，加速度肯定大于在b点加速度，C正确；粒子从c到a的过程，电场力与速度成锐角，所以粒子做加速运动，在c点的速度肯定小于在a点的速度，D错误；故选AC.
5.
图1－5－12
如图1－5－12所示，a、b两点为负点电荷Q的电场中，以Q为圆心的同一圆周上的两点，a、c两点为同一条电场线上的两点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b两点场强大小相等
B．同一检验电荷在a、b两点所受电场力相同
C．a、c两点场强大小关系为Ea＞Ec
D．a、c两点场强方向相同
答案 AD
解析 负点电荷形成的电场中，各点的场强方向都由该点指向场源电荷，a、c两点在同一条电场线上，因此两点的场强方向相同，即选项D正确；场强大小可以依据电场线的疏密程度加以判定，由于c处电场线比a处密，故a、c两点场强大小关系为Ec＞Ea，C错误；a、b两点处在同一圆周上，电场线疏密程度相同，因此a、b两点场强大小相等，但方向不同，放同一检验电荷在a、b两点所受电场力大小相等，方向不同，故A正确，B错误．
题组三 电场力作用下的平衡
6.
图1－5－13
如图1－5－13所示，在一电场强度沿纸面方向的匀强电场中，用一绝缘丝线系一带电小球，小球的质量为m，电荷量为q，为了保证当丝线与竖直方向的夹角为60°时，小球处于平衡状态，则匀强电场的场强大小可能为( )
A. B.
C. D.
答案 ACD
解析
取小球为争辩对象，它受到重力mg、丝线的拉力F和电场力Eq的作用．因小球处于平衡状态，则它受到的合外力等于零，由平衡条件知，F和Eq的合力与mg是一对平衡力．依据力的平行四边形定则可知，当电场力Eq的方向与丝线的拉力方向垂直时，电场力为最小，如图所示，则Eq＝mgsin 60°，得最小场强E＝.所以，选项A、C、D正确．
图1－5－14
7．如图1－5－14所示，水平粗糙绝缘杆从物体A中心的孔穿过，A的质量为M，用绝缘细线将另一质量为m的小球B与A连接，整个装置所在空间存在水平向右的匀强电场E，A不带电，B带正电且电荷量大小为Q，A、B均处于静止状态，细线与竖直方向成θ角．则( )
A．细线中张力大小为
B．细线中张力大小为
C．杆对A的摩擦力大小为QE
D．杆对A的支持力大小为Mg
答案 ABC
解析 对小球B受力分析有，重力mg、电场力EQ，绳子的拉力T，依据平衡可知Tcos θ＝mg，所以细线中张力大小为T＝，A选项正确；由平衡条件知：＝tan θ，故＝＝T，B选项正确；以整体为争辩对象，受重力、杆的支持力、电场力、摩擦力，摩擦力与电场力平衡，即杆对A的摩擦力大小为QE，故C选项正确；杆对A的支持力大小为(M＋m)g，D选项错误；故选A、B、C.
图1－5－15
8．如图1－5－15所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在始终线上，q2与q3间距离为2r, q1与q2间距离为r，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为( )
A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36
C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6
答案 A
解析 分别取三个点电荷为争辩对象，由于三个点电荷只在静电力(库仑力)作用下保持平衡，所以这三个点电荷不行能是同种电荷，这样可马上排解B、D选项，故正确选项只可能在A、C中．若选q2为争辩对象，由库仑定律知k＝k知：q3＝4q1.选项A恰好满足此关系，明显正确选项为A.
图1－5－16
9．如图1－5－16所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电荷量＋Q，B带电荷量－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷处于平衡状态，问：C应带什么性质的电荷？应放于何处？所带电荷量为多少？
答案 负电 A的左边0.2 m处 －Q
解析 依据平衡条件推断，C应带负电荷，放在A的左边且和AB在一条直线上．设C带电荷量为q，与A点相距为x，由平衡条件：以A为争辩对象，则
k＝k①
以C为争辩对象，则k＝k②
联立①②解得x＝r＝0.2 m，q＝－Q
故C应带负电荷，放在A的左边0.2 m处，带电荷量为－Q.
题组四 电场力与牛顿其次定律的综合问题
图1－5－17
10．长为L的绝缘细线下系一带正电的小球，其带电荷量为Q，悬于O点，如图1－5－17所示．当在O点另外固定一个正电荷时，假如球静止在A处，则细线拉力是重力mg的两倍，现将球拉至图中B处(θ＝60°)，放开球让它摇摆，问：
(1)固定在O处的正电荷的带电荷量为多少？
(2)摆球回到A处时悬线拉力为多少？
答案 (1)q＝ (2)F拉′＝3mg
解析 (1)球静止在A处经受力分析知受三个力作用：重力mg、静电力F和细线拉力F拉，由受力平衡和库仑定律列式：F拉＝F＋mg F＝k F拉＝2mg
三式联立解得：q＝.
(2)摆回的过程只有重力做功，所以机械能守恒，规定最低点重力势能等于零，有：
mgL(1－cos 60°)＝mv2，F拉′－mg－F＝m
由(1)知静电力F＝mg，
解上述三个方程得：F拉′＝3mg.
图1－5－18
11．竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场．其电场强度为E，在该匀强电场中，用丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线跟竖直方向成θ角时小球恰好平衡，如图1－5－18所示．请问：
(1)小球带电荷量是多少？
(2)若剪断丝线，小球遇到金属板需多长时间？
答案 (1) (2)
解析 (1)由于小球处于平衡状态，对小球受力分析如图所示
FTsin θ＝qE①
FTcos θ＝mg②
由得tan θ＝，故q＝.
(2)由第(1)问中的方程②知FT＝，而剪断丝线后小球所受电场力和重力的合力与未剪断丝线时丝线对小球的拉力大小相等，故剪断丝线后小球所受重力、电场力的合力等于.小球的加速度a＝＝，小球由静止开头沿着丝线拉力的反方向做匀加速直线运动，当遇到金属板上时，它的位移为x＝，又由x＝at2，得t＝ ＝ ＝ .
图1－5－19
12．如图1－5－19所示，在竖直放置的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处固定一点电荷，将质量为m，带电荷量为＋q的小球从圆弧管的水平直径端点A由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力．求：
(1)固定于圆心处的点电荷在AB弧中点处的电场强度大小；
(2)若把O处固定的点电荷拿走，加上一个竖直向下场强为E的匀强电场，带电小球仍从A点由静止释放，下滑到最低点B时，小球对环的压力多大？
答案 (1) (2)3(mg＋qE)
解析 (1)由A到B，由动能定理得：mgr＝mv2－0
在B点，对小球受力分析，由牛顿其次定律有：
qE－mg＝m
联立以上两式解得：E＝
由于O点固定的是点电荷－Q，由E＝k可知：等势面上各处的场强大小均相等，
即AB弧中点处的电场强度为E＝
(2)设小球到达B点时的速度为v，
由动能定理得：(mg＋qE)r＝mv2
设在B点处环对小球的弹力为N，
由牛顿其次定律得：N－mg－qE＝m
联立两式，解得
小球在B点受到环的压力为：N＝3(mg＋qE)
由牛顿第三定律得：小球在B点对环的压力大小为
N＝3(mg＋qE)
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