2021高考数学(文理通用)一轮课时作业34-空间几何体的表面积与体积.docx

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课时提升作业(三十四)
空间几何体的表面积与体积
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是(　　)
A.3　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
【解析】选B.设球的半径为R,则43πR3=4πR2,所以R=3.
2.(2021·湖州模拟)轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是(　　)
A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3 D.1∶4
【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积S侧=2πr·2r=4πr2,圆柱的全面积S全=2πr·2r+2πr2=6πr2,
所以S侧∶S全=2∶3.
3.(2021·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)
A.45,8 B.45,83
C.4(5+1),83 D.8,8
【解析】选B.由题干图知,此棱锥高为2,底面正方形的边长为2,V=13×2×2×2=83,
侧面积需要计算侧面三角形的高h=22+12=5,
S侧=4×12×2×5=45.
4.(2021·湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于(　　)
A.32 B.1 C.2+12 D.2
【解析】选D.依据条件得知正视图和侧视图一样,是正方体的一个对角面,故面积相等.
5.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为(　　)

A.1 cm B.1.2 cm C.1.5 cm D.2 cm
【解析】选C.由于V球=43πR3=π×32×8.5-π×32×8=4.5π,所以R=32=1.5(cm).
【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好沉没最上面的球(如图),则球的半径是
　　　　　　cm.

【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,
可得3×43πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.
答案:4
6.(2022·温州模拟)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)
A.8 　　 B.203
C.173 　　 D.143
【解析】选C.由三视图可知,该几何体如图,即一个正方体由一个平面截去了一个三棱台,所以其体积V=V正方体-VAEF-A1B1D1=23-13×
212+12×2+2=8-73=173.

7.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　)
A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
【解析】选B.由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则长方体的体对角线长为(2a)2+a2+a2=6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线,所以2R=6a.所以S球=4πR2=6πa2.
【加固训练】(2021·广州模拟)设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则S1S2的值等于(　　)
A.2π B.6π C.π6 D.π2
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则球的半径为R=32a,所以S1S2=4πR26a2=
2π34a23a2=π2.
8.(力气挑战题)某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为(　　)

A.16 B.13 C.23 D.12
【思路点拨】由三视图画出相应的直观图,然后构造出关于a,b的关系式,利用基本不等式求最值.
【解析】选D.由题意知,该几何体的直观图如图所示,

且AC=6,BD=1,BC=b,AB=a.
设CD=x,AD=y,
则x2+y2=6,x2+1=b2,
y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8≥(a+b)22,
所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,此时x=3,y=3,所以V=13×12×1×3×3=12.
【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a+b取最大值这一条件.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·宁波模拟)三棱柱的三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的全面积等于　　　　　　.

【解析】由三视图可知:该三棱柱的外形如图,
其S全=S△ABC+S△A1B1C1+SAA1B1B+SAA1C1C+SBB1C1C
=12×2×2+12×2×2+2×2+2×2+2×22=12+42.
答案:12+42
10.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC的体积为　　　　.
【解析】设正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,沿AC折起后依题意得,当BD=a时,BE⊥DE,所以DE⊥平面ABC,于是三棱锥D -ABC的高为DE=22a,所以三棱锥D -ABC的体积V=13·12a2·22a=212a3.
答案:212a3
11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为
　　　　　　m3.

【解析】由三视图可知,此几何体的上面是圆锥,其底面半径为1,高是3,此几何体的下面是长方体,其长、宽、高分别是3,2,1,因此该几何体的体积V=3×2×1+13π×12×3=6+π(m3).
答案:(6+π)
12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为　　　　cm3.

【解析】关键是求出四棱锥A -BB1D1D的高.
连接AC交BD于O,在长方体中,
由于AB=AD=3,所以BD=32且AC⊥BD.
又由于BB1⊥底面ABCD,所以BB1⊥AC.
又DB∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D1D,
所以AO为四棱锥A -BB1D1D的高且AO=12BD=322.
由于S矩形BB1D1D=BD×BB1=32×2=62,所以VA -BB1D1D=13S矩形BB1D1D·AO=13×62×322=6(cm3).
答案:6
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形,

(1)求该几何体的体积V.
(2)求该几何体侧面积S.
【解析】由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD,如图所示.
(1)V=13×(8×6)×4=64.
(2)该四棱锥有两个侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1=42+822=42,
另两个侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为h2=42+622=5,
因此S=212×8×5+12×6×42=40+242.
14.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:
(1)该几何体的体积.
(2)截面ABC的面积.

【解析】(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1,BB1分别于A2,B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知B2C⊥平面ABB2A2,
则V=
=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.
(2)在△ABC中,AB=22+(4-3)2=5,
BC=22+(3-2)2=5,
AC=(22)2+(4-2)2=23.
则S△ABC=12×23×(5)2-(3)2=6.
【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答:
延长B1B,C1C到B3,C3,使得B3B1=C3C1=AA1.
则V=
=12×2×2×4-13×12×(1+2)×2×2=6.

15.(力气挑战题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为22.
(1)求AB的长度.
(2)求该长方体外接球的表面积.
【解析】(1)设AB=x,点A到点C1可能有两种途径,如图甲的最短路程为|AC1|=x2+4.

如图乙的最短路程为
|AC1|=(x+1)2+1=x2+2x+2,
由于x>1,所以x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为x2+4.
由题意得x2+4=22,解得x=2.
即AB的长度为2.
(2)设长方体外接球的半径为R,则
(2R)2=12+12+22=6,
所以R2=32,所以S表=4πR2=6π.
即该长方体外接球的表面积为6π.
【加固训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,这个几何体的体积为403.
(1)求棱A1A的长.
(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.
【解析】(1)设A1A=h,由于几何体ABCD-A1C1D1的体积为403,
所以
即S四边形ABCD×h-13×S△A1B1C1×h=403,
即2×2×h-13×12×2×2×h=403,解得h=4.
所以A1A的长为4.
(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD.
由于ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1⊥平面A1AB.
由于A1B⊂平面A1AB,
所以A1D1⊥A1B.
所以OA1=12D1B.
同理OD=OC1=12D1B.
所以OA1=OD=OC1=OB.
所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.
由于D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24.
所以S球=4π×(OD1)2=4π×D1B22=π×D1B2=24π.
故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24π.
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