资源描述
阶段性测试题五(平 面 向 量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·皖南八校联考)已知点A(2，－)，B(，)，则与向量方向相同的单位向量是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(－，)
[答案] C
[解析] ＝(－，2)，||＝＝，
∴＝(－，)．
2．(2022·韶关市曲江一中月考)设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
[答案] C
[解析] ∵|a|＝1，|b|＝，a·b＝，∴A、B错；∵1×－0×≠0，∴a∥b不成立；∵(a－b)·b＝(，－)·(，)＝－＝0，选C．
3．(2022·湖南省五市十校联考)已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，a－b)，n＝(b，a－c)，若m∥n，则∠C＝( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] ∵m∥n，∴(a＋c)(a－c)－b(a－b)＝0，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，∴C＝.
4．(2021·沈阳市一模)若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
[答案] D
[解析] 由a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，得
b＝(1，－3)，从而cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝135°.
5．(文)(2022·安徽程集中学期中)已知向量a、b满足|a|＝1，|a＋b|＝，〈a，b〉＝，则|b|等于( )
A．2 B．3
C． D．4
[答案] A
[解析] 设|b|＝m，则a·b＝mcos＝，|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋m2＋m＝7，∴m2＋m－6＝0，
∵m>0，∴m＝2.
(理)(2022·哈六中期中)已知向量a、b满足，|a|＝2，a⊥(a－2b)，2|－b|＝|b|，则|b|的值为( )
A．1 B．2
C． D．2
[答案] B
[解析] 设|b|＝m，∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝4－2a·b＝0，∴a·b＝2，将2|－b|＝|b|两边平方得，4(＋|b|2－a·b)＝3|b|2，
即4(1＋m2－2)＝3m2，∴m2＝4，∴m＝2.
6．(2022·北京朝阳区期中)已知平面对量a＝(1，－2)，b＝(2,1)，c＝(－4，－2)，则下列结论中错误的是( )
A．向量c与向量b共线
B．若c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则λ1＝0，λ2＝－2
C．对同一平面内任意向量d，都存在实数k1、k2，使得d＝k1b＋k2c
D．向量a在向量b方向上的投影为0
[答案] C
[解析] ∵c＝－2b，∴向量c与向量b共线，∴选项A正确；由c＝λ1a＋λ2b可知，，解得∴选项B正确；向量c与向量b共线，所以由平面对量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，∴选项C错误；a·b＝0，所以a⊥b，夹角是90°，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90°＝0，∴D正确．
7．(2021·湖南师大附中月考)若等边△ABC边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝( )
A．－1 B．
C．－2 D．2
[答案] C
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，依据题设条件可知：A(0,3)，B(－，0)，C(，0)，
设M(a，b)，＝＋＝(－2，0)＋(0,2)＝(－，2)，
又＝－＝(a，b)－(，0)＝(a－，b)，
∴∴a＝0，b＝2，
∴M(0,2)，所以＝(0,1)，＝(－，－2)，
因此·＝－2.故选C．
8．(2021·石光中学阶段测试)已知m>0，n>0，向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，且a∥b，则＋的最小值是( )
A．2 B．＋1
C．2－1 D．3＋2
[答案] D
[解析] ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，∴m＋n＝1，
∵m>0，n>0，∴＋＝(＋)·(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.
等号成立时，即
9．(文)(2022·河南淇县一中模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．－2 B．－
C．1 D．0
[答案] A
[解析] 由条件知，A1(－1,0)，F2(2,0)，∵P在双曲线右支上，∴P在上半支与下半支上结论相同，
设P(x0，)，x0≥1，
∴·＝(－1－x0，－)·(2－x0，－)＝(－1－x0)(2－x0)＋(3x－3)＝4x－x0－5＝4(x0－)2－，
∴当x0＝1时，(·)min＝－2，故选A．
(理)(2021·成都市树德中学期中)已知a＝(，)，b＝(，－)，曲线a·b＝1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|＝( )
A． B．
C． D．或
[答案] B
[解析] 由a·b＝1得，－＝1，易知F(7,0)为其焦点，设另一焦点为F1，由双曲线的定义，||MF1|－|MF||＝10，∴|MF1|＝1或21，明显|MF1|＝1不合题意，
∴|MF1|＝21，ON为△MF1F2的中位线，∴|ON|＝.
10．(2022·开滦二中期中)已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝4，点P为BC边所在直线上的一个动点，则·(＋)满足( )
A．最大值为16 B．最小值为4
C．为定值8 D．与P的位置有关
[答案] C
[解析] 设BC边中点为D，〈，〉＝α，则||＝||·cosα，
∵AB＝AC＝4，BC＝4，∴∠BAC＝120°，∴0°≤α≤60°，
∴·(＋)＝·2＝2||·||·cosα
＝2||2＝8.
11．(2022·哈六中期中)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝45°，AD＝2，AB＝，BC＝1，P是边AB所在直线上的动点，则|＋2|的最小值为( )
A．2 B．4
C． D．
[答案] C
[解析] ∵AB＝，BC＝1，∠BAC＝45°，
∴AB·sin∠BAC＝BC，∴AC⊥BC，
以C为原点直线BC与AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系如图，则C(0,0)，B(－1,0)，A(0,1)，D(2,1)，
∵P在直线AB：y－x＝1上，
∴设P(x0,1＋x0)，则＋2＝(－x0，－1－x0)＋2(2－x0，－x0)＝(4－3x0，－1－3x0)，
∴|＋2|2＝(4－3x0)2＋(－1－3x0)2＝18x－18x0＋17＝18(x0－)2＋，
∴当x0＝时，|＋2|min＝，故选C．
12．(文)(2021·遵义航天中学二模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 在△ABC中，已知D是AB边上一点∵＝2，＝＋λ，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，故选A．
(理)(2022·海南省文昌市检测)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD＝3，点P为△BCD内(含边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的最大值等于( )
A． B．
C． D．1
[答案] B
[解析] 以O为原点，OA、OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则由条件知，C(0,1)，A(1,0)，B(1,1)，D(3,0)，＝α＋β＝(3β，α)，
设P(x，y)，则
∵P在△BCD内，∴∴
作出可行域如图，
作直线l0：α＋β＝0，平移l0可知当移到经过点A(1，)时，α＋β取最大值，故选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2021·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)向量a，b，c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a·(b＋c)＝________.
[答案] 3
[解析] 如图建立平面直角坐标系，
则a＝(1,3)，b＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，c＝(3,2)－(5，－1)＝(－2,3)，∴b＋c＝(0,1)，
∴a·(b＋c)＝(1,3)·(0,1)＝3.
(理)(2021·山西忻州四校联考)已知m，n是夹角为120°的单位向量，向量a＝tm＋(1－t)n，若n⊥a，则实数t＝________.
[答案]
[解析] ∵m，n是夹角为120°的单位向量，向量a＝tm＋(1－t)n，n⊥a，∴n·a＝n·[tm＋(1－t)n]＝tm·n＋(1－t)n2＝tcos120°＋1－t＝1－t＝0，∴t＝.
14．(2022·三亚市一中月考)已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为________．
[答案]
[解析] ∵〈a，b〉＝120°，a⊥c，c＝a＋b，∴a·c＝a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝|a|2－|a|·|b|＝0，
∴＝.
15．(文)(2021·湖北教学合作十月联考)已知向量a与向量b的夹角为120°，若(a＋b)⊥(a－2b)且|a|＝2，则b在a上的投影为________．
[答案] －
[解析] a·b＝|a|·|b|cos120°＝－|b|，
∵(a＋b)⊥(a－2b)，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，
∴2|b|2－|b|－4＝0，∴|b|＝，
所以b在a上的投影为＝＝－.
(理)(2021·合肥市两校联考)若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1,2)下的坐标为________．
[答案] (0,2)
[解析] a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)，
设a＝xm＋yn＝(y－x，x＋2y)，则
∴
16．(文)(2021·开封市二十二校大联考)已知向量＝(3，－1)，＝(0,2)，若·＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
[答案] 2
[解析] 设＝(x，y)，∵＝(3，－1)，＝(0,2)，
∴＝(－3,3)．
由向量的运算可知·＝－3x＋3y＝0，∴x＝y，
＝(x－3，y＋1)＝λ＝(0,2λ)，
∴∴λ＝2.
(理)(2021·娄底市名校联考)如图，Ox、Oy是平面内相交成120°的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则将有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若＝(3,2)，则||＝________.
[答案]
[解析] 由题意可得e1·e2＝cos120°＝－.
||＝＝
＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2021·皖南八校联考)如图，∠AOB＝，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点．
(1)用向量与表示向量；
(2)求向量的模．
[解析] (1)＝＋＋，＝＋＋，两式相加，并留意到点M、N分别是线段A1B1、A2B2的中点，得＝(＋)．
(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，
所以·＝1，由＝(＋)得，
||＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)(文)(2022·宝鸡市质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cosC)且q∥p.
(1)求sinA的值；
(2)求三角函数式＋1的取值范围．
[解析] (1)∵q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cosC)且q∥p，∴2b－c＝2acosC
由正弦定理得2sinAcosC＝2sinB－sinC，
又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinC＝cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA＝，
又∵0<A<π，∴A＝，∴sinA＝.
(2)原式＝＋1＝1－＝1－2cos2C＋2sinCcosC＝sin2C－cos2C＝sin(2C－)．
∵0<C<，∴－<2C－<，
∴－<sin(2C－)≤1，
∴－1<sin(2C－)≤，
即三角函数式＋1的取值范围为(－1，]．
(理)(2022·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)，
∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，
－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)，
若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，
若t≠，则λ＝，
∵t∈[1，)∪(，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[，＋∞)．
19．(本小题满分12分)(2022·河北冀州中学期中)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m＝(cos，sin)，n＝(cos，sin)，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，试推断△ABC的外形．
[解析] (1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2(coscos＋sinsin)＝3，
∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.
(2)∵||＋||＝||，∴sinB＋sinC＝sinA，
∴sinB＋sin(－B)＝×，
即sinB＋cosB＝，
∴sin(B＋)＝.
∵0<B<，∴<B＋<，
∴B＋＝或，故B＝或.
当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.
故△ABC是直角三角形．
20．(本小题满分12分)(2022·西工大附中四模)已知向量a＝(cosx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，设函数f(x)＝2a·b＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[，]上的最小值和最大值．
[解析] (1)f(x)＝2(cosxsinx－cos2x)＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
因此，函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由于f(x)＝sin(2x－)在区间[，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f()＝0，f()＝，f()＝sin(－)＝－cos＝－1，
故函数f(x)在区间[，]上的最大值为，最小值为－1.
21．(本小题满分12分)(2021·东北育才学校一模)已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋时，解得kπ－≤x≤kπ＋，
∴f(x)＝sin(2x－)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[0，]时，(2x－)∈[－，]，
∴sin(2x－)∈[－，1]，
所以，f(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为1，－.
22．(本小题满分14分)(文)(2022·成都七中模拟)已知O为坐标原点，＝(2sin2x,1)，＝(1，－2sinxcosx＋1)，f(x)＝·＋m.
(1)若f(x)的定义域为[－，π]，求y＝f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求m的值．
[解析] (1)f(x)＝2sin2x－2sinxcosx＋1＋m
＝1－cos2x－sin2x＋1＋m＝－2sin(2x＋)＋2＋m，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得，
kπ＋≤x≤kπ＋，
∴y＝f(x)在R上的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，
又f(x)的定义域为[－，π]，
∴y＝f(x)的增区间为[－，－]，[，]．
(2)当≤x≤π时，≤2x＋≤，
∴－1≤sin(2x＋)≤，
∴1＋m≤f(x)≤4＋m，∴∴m＝1.
(理)(2022·浙江省五校联考)已知函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)cosωx－，其中ω>0，f(x)的最小正周期为4π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
[解析] f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－
＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)．
∵＝4π，∴ω＝，f(x)＝sin(＋)．
(1)由2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)得：
4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．
(2)由正弦定理得，(2sinA－sinC)cosB＝sinB·cosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，
∵sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA>0，
∴cosB＝，∵0<B<π，∴B＝，
∴0<A<，<＋<，∴f(A)∈(，1)．
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