资源描述
一、选择题
1.(2022·新课标全国卷Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( ).
A. B.
C. D.
解析 如图,+=-(+)
=-(+++)
=-(+)=(+)=,故选C.
答案 C
2.(2022·河南十所名校联考)在△ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,若=-2+λ,则λ=( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由点A,B,M三点共线知:-2+λ=1,所以λ=3.
答案 C
3.(2022·吉林省试验中学模拟)在△ABC中,D是AB中点,E是AC中点,CD与BE交于点F,设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)为( ).
A. B.
C. D.
解析 由题意知点F为△ABC的重心,设H为BC中点,则==×(+)=a+b,
所以x=,y=.
答案 C
4.(2022·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中,菱形OABC的两个顶点为O(0,0),A(1,1),且·=1,则·等于( ).
A.-1 B.1
C. D.
解析 依题意,||=||=||=,·=||||cos ∠AOC=1,cos ∠AOC=,∠AOC=,则||=||=||=,∠BAC=,·=||||cos ∠BAC=1.
答案 B
5.(2022·浙江卷)设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1( ).
A.若θ确定,则|a|唯一确定
B.若θ确定,则|b|唯一确定
C.若|a|确定,则θ唯一确定
D.若|b|确定,则θ唯一确定
解析 由于|b+ta|2=b2+2a·bt+a2t2,令f(t)=a2t2+2a·bt+b2,而t是任意实数,所以可得f(t)的最小值为===1,即|b|2sin2 θ=1,则若θ确定,则|b|唯一确定.
答案 B
二、填空题
6.(2022·江西卷)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=________.
解析 e1·e2=1×1×=,|a|====3.
答案 3
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足=2 ,则·=________.
解析 法一 如图建立平面直角坐标系.
由题意知:A(3,0),B(0,3),
设M(x,y),由=2,
得解得即M点坐标为(2,1),
所以·=(2,1)·(0,3)=3.
法二 ·=(+)·=2+×=2+·(-)=2=3.
答案 3
8.(2022·杭州质量检测)在△AOB中,G为△AOB的重心,且∠AOB=60°,若·=6,则||的最小值是________.
解析 如图,在△AOB中,==×(+)=(+),
又·=||||·cos 60°=6,
∴||||=12,
∴||2=(+)2=(||2+||2+2·)=(||2+||2+12)≥×=×36=4(当且仅当||=|O|时取等号).∴||≥2,故||的最小值是2.
答案 2
三、解答题
9.(2021·江苏卷)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
(1)证明 由|a-b|=,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得cos αcos β+sin αsin β=0,
即a·b=0,因此a⊥b.
(2)解 由已知条件
cos β=-cos α=cos(π-α),
由0<α<π,得0<π-α<π,
又0<β<π,故β=π-α.则sin α+sin (π-α)=1,
即sin α=,故α=或α=.
当α=时,β=(舍去),当α=时,β=.
所以,α,β的值分别为,.
10.已知向量m=(sin x,-1),n=(cos x,3).
(1)当m∥n时,求的值;
(2)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,c=2asin(A+B),函数f(x)=(m+n)·m,求f的取值范围.
解 (1)由m∥n,可得3sin x=-cos x,
于是tan x=-,∴===-.
(2)在△ABC中A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C,
由正弦定理,得sin C=2sin Asin C,
∵sin C≠0,∴sin A=.又△ABC为锐角三角形,
∴A=,于是<B<.
∵f(x)=(m+n)·m=
(sin x+cos x,2)·(sin x,-1)=sin2 x+sin xcos x-2=+sin 2x-2=sin-,
∴f=sin-=sin 2B-.由<B<,得<2B<π,
∴0<sin 2B≤1,-<sin 2B-≤-,
即f(B+)∈.
11.(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(1)若++=0,求||;
(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
解 (1)法一 ∵++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得
即=(2,2),故||=2.
法二 ∵++=0,
则(-)+(-)+(-)=0,
∴=(++)=(2,2),∴||=2.
(2)∵=m+n,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴
两式相减得,m-n=y-x,
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
展开阅读全文