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一、选择题
1．(2022·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )．
A. B．
C. D．
解析 如图，＋＝－(＋)
＝－(＋＋＋)
＝－(＋)＝(＋)＝，故选C.
答案 C
2．(2022·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.
答案 C
3．(2022·吉林省试验中学模拟)在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )．
A. B．
C. D．
解析 由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则＝＝×(＋)＝a＋b，
所以x＝，y＝.
答案 C
4．(2022·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且·＝1，则·等于( )．
A．－1 B．1
C. D．
解析 依题意，||＝||＝||＝，·＝||||cos ∠AOC＝1，cos ∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝||||cos ∠BAC＝1.
答案 B
5．(2022·浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1( )．
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
解析 由于|b＋ta|2＝b2＋2a·bt＋a2t2，令f(t)＝a2t2＋2a·bt＋b2，而t是任意实数，所以可得f(t)的最小值为＝＝＝1，即|b|2sin2 θ＝1，则若θ确定，则|b|唯一确定．
答案 B
二、填空题
6．(2022·江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
解析 e1·e2＝1×1×＝，|a|＝＝＝＝3.
答案 3
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2 ，则·＝________.
解析 法一 如图建立平面直角坐标系．
由题意知：A(3,0)，B(0,3)，
设M(x，y)，由＝2，
得解得即M点坐标为(2,1)，
所以·＝(2,1)·(0,3)＝3.
法二 ·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.
答案 3
8．(2022·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．
解析 如图，在△AOB中，＝＝×(＋)＝(＋)，
又·＝||||·cos 60°＝6，
∴||||＝12，
∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×＝×36＝4(当且仅当||＝|O|时取等号)．∴||≥2，故||的最小值是2.
答案 2
三、解答题
9．(2021·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
(1)证明 由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即a·b＝0，因此a⊥b.
(2)解 由已知条件
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，
由0<α<π，得0<π－α<π，
又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，
即sin α＝，故α＝或α＝.
当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.
所以，α，β的值分别为，.
10．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)．
(1)当m∥n时，求的值；
(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．
解 (1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，
于是tan x＝－，∴＝＝＝－.
(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是 sin(A＋B)＝sin C，
由正弦定理，得sin C＝2sin Asin C，
∵sin C≠0，∴sin A＝.又△ABC为锐角三角形，
∴A＝，于是<B<.
∵f(x)＝(m＋n)·m＝
(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1)＝sin2 x＋sin xcos x－2＝＋sin 2x－2＝sin－，
∴f＝sin－＝sin 2B－.由<B<，得<2B<π，
∴0<sin 2B≤1，－<sin 2B－≤－，
即f(B＋)∈.
11．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解 (1)法一 ∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴解得
即＝(2,2)，故||＝2.
法二 ∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
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