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课时作业53 曲线与方程
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但留意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.
答案：D
2．(2022·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
答案：D
3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内确定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：
M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：D
4．(2022·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
答案：D
5．(2022·合肥模拟，6)
如图所示，A是圆O内确定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E，则点E的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
答案：B
6．(2022·上海徐汇模拟，16)假如命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )
A．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
B．方程f(x，y)＝0的每一组解对应的点都在曲线C上
C．不满足方程f(x，y)＝0的点(x，y)不在曲线C上
D．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
解析：由曲线与方程的对应关系可知，由于不能推断以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f(x，y)＝0的曲线不愿定是C，所以曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线不正确；方程f(x，y)＝0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f(x，y)＝0的轨迹．举特例，曲线C为y＝x，而方程x2－y2＝0，即y＝±x，则只有C正确．
答案：C
7．方程x2－y2＝0对应的图像是( )
解析：由x2－y2＝0得y＝x或y＝－x.
答案：C
8．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，
∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.
而R＝|PF|＝，
∴|x|＝·.
整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，
即－＝1.
∴点P的轨迹为双曲线．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·山东聊城一模，13)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)、B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
10．(2022·山东枣庄一模，14)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
解析：解法一：直接法．设A(x，y)，则D(，)，
∴|CD|＝＝3，
化简得(x－10)2＋y2＝36，
由于A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
解法二：定义法．如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E.
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10,0)．
∴顶点A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36，又A、B、C三点构成三角形，∴A点纵坐标y≠0，
故顶点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
11.
如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为________．
解析：由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax.
答案：y2＝4ax
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程．
解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝，
又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，
得x0＝(1＋)x，y0＝(1＋)y.
由于|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，
所以[(1＋)x]2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，
化简得＋y2＝1.
∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.
13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)经过点A(，)，且点F(0，－1)为其一个焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．
解：(1)依据题意可得可解得
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0,4)为直线y＝4上一点(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为y＝x＋2，直线PA2方程为y＝x－2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组
可得点N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐标满足方程组可得.由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y＝4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x0＝1时，直线MN的方程为y＋1＝(x＋)，令x＝0，得y＝1可猜想定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM＝＝＝，直线BN的斜率kBN＝＝＝，∴kBM＝kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0,1)，
又∵F(0，－1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，
∴△FMN周长为|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，为定值．
14．已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；
(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(x＋)(x－)＋y·y＝0.
化简得＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ>0，即m2<3k2＋1.①
(ⅰ)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.
则－＝－，即2m＝3k2＋1，②
将②代入①得2m>m2，解得0<m<2，
由②得k2＝>0，解得m>，
故所求的m的取值范围是(，2)．
(ⅱ)当k＝0时，|AM|＝|AN|，
∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1<m<1.
综上，当k≠0时，m的取值范围是(，2)，
当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．
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