2021高考数学(福建-理)一轮作业：7章-章末检测.docx

第七章　章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若|a|>b，则a2>b2
C．若a>b，则a2>b2
D．若a>|b|，则a2>b2
3．若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(　　)
A．18 B．6 C．2 D．2
4．不等式y≥|x|表示的平面区域是(　　)

5．(2011·北京)假如x<y<0，那么(　　)
A．y<x<1 B．x<y<1
C．1<x<y D．1<y<x
6．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为(　　)
A．9 B. C．1 D.
7．点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于4，且在2x＋y－3<0表示的平面区域内，则a的值为(　　)
A．3 B．7 C．－3 D．－7
8．(2011·黄冈月考)设an＝＋＋…＋，则对任意正整数m，n (m>n)都成立的是(　　)
A．|an－am|<
B．|an－am|>
C．|an－am|<
D．|an－am|>
9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则(　　)
A.＝G B.≤G C.>G D.<G
10．设M＝，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是(　　)
A. B. C．[1,8) D．[8，＋∞)
11．(2011·许昌月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
12．若实数x、y满足＋＝1，则x2＋2y2有(　　)
A．最大值3＋2 B．最小值3＋2
C．最大值6 D．最小值6

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值分别为________．
14．(2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．

15．(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____________，a＋b的取值范围是____________．
16．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观看：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
依据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)解关于x的不等式≤(其中a>0且a≠1)．

18．(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范围．

19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？

20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，依据猜想，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.
由于对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．

22．(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，
证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．

第七章　章末检测
1．A　[∵x2＋x－6<0，∴－3<x<2，
∴M＝{x|－3<x<2}．
又∵N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．]
2．D
3．B　[由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3a＋3b的最小值是6.]
4．A
5．D　[不等式转化为⇒1<y<x.]
6．A　[画出可行域如图：

令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，作出目标函数线，平移目标函数线，明显过点A时z最大．
由得A(4,5)，
∴zmax＝4＋5＝9.]
7．C　[由题意解得a＝－3.]
8．C　[|an－am|
＝
≤＋＋…＋
<＋＋…＋＝＝－<.]
9．C　[设左、右臂长分别为l1、l2，
则l1·G＝l2·a，①
l2·G＝l1·b.②
①×②，得G2＝ab，∴G＝.∵l1≠l2，
故a≠b，>＝G.]
10．D　[∵M＝(－1)(－1)(－1)
＝··≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
∴M≥8.]
11．A　[当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；
当x≠0时，a≥－＝－＝f(x)，
问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.
综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．]
12．B　[x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·＝1＋＋＋2≥3＋2
＝3＋2，当且仅当＝时等号成立．]
13．－4,1
解析　由题意知，－1、4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.
14．1

解析　令b＝2x－y，则y＝2x－b，
如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，
当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1.
15．[9，＋∞)　[6，＋∞)
解析　∵a＋b≥2，∴ab－3≥2.
解得，≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9，
a＋b＝ab－3≥6.
16.
解析　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
17．解　①当a>1时，有x－＋1≤－1，
∴x－＋2≤0，∴≤0.
∴≤0，∴x≤－3或0<x≤1.(6分)
②当0<a<1时，有x－＋1≥－1，
∴≥0.∴－3≤x<0或x≥1.(8分)
综上，当a>1时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]；
当0<a<1时，x∈[－3,0)∪[1，＋∞)．(10分)
18．解　(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)×1＝2，
∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(3分)
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，
∴f(x)＝x2＋x－2.(6分)
(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax<x2＋x＋3，
∵x∈(0,2)，
∴a<＝1＋x＋.(8分)
当x∈(0,2)时，1＋x＋≥1＋2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，由∈(0,2)，
得(1＋x＋)min＝1＋2.
∴a<1＋2.(12分)
19．(1)证明　方法一　(反证法)
若{Sn}是等比数列．
则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
(3分)
∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，
∴q＝0.这与q≠0冲突．
∴{Sn}不是等比数列．(6分)
方法二　∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1
＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.
故SnSn＋2≠S，
∴数列{Sn}不是等比数列．(6分)
(2)解　当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3.
∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)(10分)
由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，
∴q＝q2，∵q≠1，∴q＝0.
这与q≠0冲突，故当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
(12分)
20．解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.(5分)

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．(9分)
解方程组，
得x＝4，y＝6，此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答　投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．(12分)
21．(1)解　若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.
求证：a＋a＋…＋a≥.(4分)
(2)证明　构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.(8分)
由于对一切x∈R，都有f(x)≥0，
所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
从而证得a＋a＋…＋a≥.(12分)
22．(1)解　由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，(3分)
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
所以＝b，所以r＝－1.(5分)
(2)证明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，
所证不等式为··…·>.
(6分)
①当n＝1时，左式＝，右式＝.
左式>右式，所以结论成立，(7分)
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，
··…·>·
＝要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由均值不等式＝≥成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．(11分)
由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．(12分)