2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3：第二章-随机变量及其分布-单元同步测试.docx

其次章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设随机变量X的概率分布如下：
X
－1
0
1
P

p
则P(X>0)等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B.
C. D．不确定
解析　由分布列的性质，得＋＋p＝1，
∴p＝.∴P(X>0)＝P(X＝1)＝p＝.
答案　B
2．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)＝(　　)
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
解析　由0.5＋m＋0.2＝1，得m＝0.3.
∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
答案　D
3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
解析　由Y＝2X－1<6，得X<3.5，
∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.
答案　A
4．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望E(ξ)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案　A
5．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　大事A：实习生甲加工的零件为一等品；
大事B：实习生乙加工的零件为一等品，
则P(A)＝，P(B)＝，
∴P()＝，P()＝.
∴这两个零件中恰有一个一等品的概率应为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
答案　B
6．位于西部地区的A，B两地，据多年来的资料记载：A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A地为雨天B地也为雨天的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意知P(A)＝0.06，P(B)＝0.08，P(AB)＝0.02，
∴P(B|A)＝＝＝.
答案　C
7．在10个球中有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，其次次也摸出红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　记“第一次摸出红球”为大事A，“其次次摸出红球”为大事B，则P(A)＝，
P(AB)＝×＝，
∴P(B|A)＝＝×＝.
答案　D
8．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
则均值E(X)与方差D(X)分别为(　　)
A．1.4,0.2 B．0.44,1.4
C．1.4,0.44 D．0.44,0.2
解析　∵a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.
∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5.
∴E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；
D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5
＝0.196＋0.064＋0.18
＝0.44.
答案　C
9．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)
A. B．C×()3×
C．()3× D.×
解析　由题意知，前3次取得黑球，第4次取得白球，由于是有放回的取球，故所求概率为()3×.
答案　C
10．某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(　　)
A．C()6 B．A()6
C．C()6 D．C()6
解析　射击6次命中3次恰有2次连续命中有A种可能．因此，所求概率为P＝A()3(1－)3＝A()6.
答案　B
11．某厂生产的零件外直径ξ～N(8,0.152)(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为(　　)
A．上、下午生产状况均正常
B．上、下午生产状况均为特别
C．上午生产状况正常，下午生产状况特别
D．上午生产状况特别，下午生产状况正常
解析　由ξ～N(8,0.152)知，μ＝8，σ＝0.15，
∴μ－3σ＝8－3×0.15＝7.55，
μ＋3σ＝8.45.
∵7.9∈(7.55,8.45)，而7.5∉(7.55,8.45)，
∴上午生产状况正常，下午生产状况特别．
答案　C
12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分状况)，则ab的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由已知3a＋2b＋0×c＝1，
∴3a＋2b＝1.
∴ab＝·3a·2b≤2＝·2＝.
当且仅当3a＝2b＝，即a＝，b＝时取“等号”．故选B.
答案　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．一离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
，且E(ξ)＝1.5，则a－b＝________.
解析　由分布列的性质，得a＋b＝0.8，又E(ξ)＝1.5，
∴a＋2b＋0.3＝1.5，解得b＝0.4，a＝0.4，∴a－b＝0.
答案　0
14．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，其中正态分布曲线最高点的坐标为(10，)，则该随机变量方差为________．
解析　正态曲线的最高点的坐标为(μ，)，
∴μ＝10，＝，∴σ2＝.
答案　
15．为了庆祝建厂10周年，某食品厂制作了3种分别印有卡通人物猪猪侠、虹猫和无眼神兔的精致卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，张明购买了5袋该食品，则他可能获奖的概率是________．
解析　依题意，购买5袋该食品可能收集到的卡片不同的结果有35种，其中能获奖的结果仅有两类，第一类：5张卡片中有3张相同的卡片，另两张各不相同，这样的结果有3CCC＝60种；其次类：5张卡片中某两种卡片相同，而另一张是余下的另一种，这样的结果有3CCC＝90种．故所求的概率为P＝＝.
答案　
16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹的均值为________．
解析　设命中目标后剩余的子弹个数为ξ，则ξ全部可能的取值为3,2,1.
P(ξ＝3)＝0.6，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096.
∴E(ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
答案　2.376
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)一盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只不放回．设大事A为“第一次取到的是一等品”，大事B为“其次次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．
解　将产品编号，1,2,3号为一等品，4号为二等品．
用(i，j)表示第一次、其次次分别取到第i号、第j号产品(i，j＝1,2,3,4)，
则试验的基本大事空间为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，
大事A含9个基本大事．AB含有6个基本大事，
所以，P(B|A)＝＝.
18．(12分)数学选择题在给出的四个答案中只有一个是正确的，若对3道选择题中的每一道都任意选定一个答案．求：
(1)这3道题中恰好答对2道的概率；
(2)至多答对1道的概率．
解　依题意知，每道选择题答对的概率均为，设答对的题数为x，则X－B.
(1)3道题中恰好答对2道的概率为P(X＝2)＝C2＝.
(2)至多答对1道的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C03＋C12＝＋＝.
19．(12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参与学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为大事A，“女生乙被选中”为大事B，求P(B|A)．
解　(1)X的全部可能取值为0,1,2.依题意得：
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P

(2)设“男生甲或女生乙被选中”为大事C，则P()＝＝，
∴P(C)＝1－P()＝1－＝.
(3)P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝.
20．(12分)甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中的环数与次数如下表：
环数
5
6
7
8
9
10
次
1
1
1
1
2
4
乙射击的概率分布如下表：
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
p
0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中18环的概率及p的值；
(2)比较甲、乙两人射击水平的优劣．
解　(1)由题意及概率分布列的性质可知p＝1－(0.2＋0.3＋0.1)＝0.4.
设甲、乙击中的环数分别为ξ1，ξ2，则P(ξ1＝8)＝＝0.1，P(ξ1＝9)＝＝0.2，P(ξ1＝10)＝＝0.4；
P(ξ2＝8)＝0.3，P(ξ2＝9)＝0.4，P(ξ2＝10)＝0.1.
所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为
P＝P(ξ1＝8)P(ξ2＝10)＋P(ξ1＝9)P(ξ2＝9)＋P(ξ1＝10)
P(ξ2＝8)＝0.1×0.1＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.21.
(2)甲的期望为：E(ξ1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4.
乙的期望为：E(ξ2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.
甲的方差为：D(ξ1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04.
乙的方差为：D(ξ2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.
∵E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，
∴乙比甲技术好．
21．(12分)一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率为p.
(1)当p＝时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的均值E(X)；
(2)若6p∈N，有放回地从口袋中连续四次取球(每次只取一个球)，在四次取球中恰好两次取到红球的概率大于，求p与n的值．
解　(1)由P＝＝，得n＝5，
∴5个球中有3个红球，2个白球．
从袋中不放回的取3个球，其中取到白球的个数X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)由题设知，Cp2(1－p)2>.
∵p(1－p)>0，∴不等式化为p(1－p)>，
解得<p<，故2<6p<4.
又∵6p∈N，∴6p＝3，p＝.
由＝，得n＝6.
22．(12分)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．

解　(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋0.37＋0.39＋x＝1，
解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)，
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.