资源描述
时间：45分钟 分值：75分
一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．
1．不等式|x＋1|<3的解集为________．
解析 由|x＋1|<3得－3<x＋1<3⇒－4<x<2，
所以不等式|x＋1|<3的解集为(－4,2)．
答案 (－4,2)
2．若x>0，y>0，且x＋2y＝1，则＋的取值范围是________．
解析 依题意得＋＝(x＋2y)＝3＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即x＝－1，y＝时取等号，因此＋的取值范围是
答案
答案 a≤8
5．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需|a|≥3即可，所以a≥3或a≤－3.
答案 a≥3或a≤－3
6．若不等式≥|a－2|＋1对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是________．
解析 令f(x)＝，由题意只要求|a－2|＋1≤f(x)时a的最大值，而f(x)＝＝|x|＋≥2，
∴|a－2|＋1≤2，解得1≤a≤3，故a的最大值是3.
答案 3
7．x＋y的最大值是________．
解析 ∵x＋y
≤＝1，
∴最大值为1.
答案 1
8．若不等式|2x－m|≤|3x＋6|恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析 在同始终角坐标系中分别画出函数y＝|2x－m|及y＝|3x＋6|的图象(如图所示)，由于不等式|2x－m|≤|3x＋6|恒成立，所以函数y＝|2x－m|的图象在y＝|3x＋6|的图象的下方，因此，函数y＝|2x－m|的图象也必需经过点(－2,0)，所以m＝－4.
答案 －4
9．(2021·湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析 由柯西不等式得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2＝36，所以a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案 12
二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)(2021·福建卷)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
解 (1)由于∈A，且∉A，所以<a，且≥a，
解得<a≤.又由于a∈N*，所以a＝1.
(2)由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当 (x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．
所以f(x)的最小值为3.
11．(本小题10分)(2021·辽宁卷)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1，或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
12．(本小题10分)(2021·辽宁沈阳二模)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|，x∈R.
(1)求不等式f(x)≤x＋10的解集；
(2)假如关于x的不等式f(x)≥a－(x－2)2在R上恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝
当x<－1时，－2x＋4≤x＋10，x≥－2，
则－2≤x<－1；
当－1≤x≤5时，6≤x＋10，x≥－4，则－1≤x≤5；
当x>5时，2x－4≤x＋10，x≤14，则5<x≤14.
综上可得，不等式f(x)≤x＋10的解集为．
(2)设g(x)＝a－(x－2)2，由函数f(x)的图象与g(x)的图象可知：f(x)在x∈上取最小值为6，g(x)在x＝2时取最大值为a，若f(x)≥g(x)恒成立，则a≤6.
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