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1．依据给出的数塔猜想123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
解析：选B.由数塔猜想应是各位数字都是1的七位数，
即1 111 111.
2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”接受的是( )
A．归纳推理 B．演绎推理
C．类比推理 D．数学证明
解析：选C.由加法类比乘法．
3．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中a，b可能是下列哪个选项运算的结果( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
解析：选B.由图可知字母A，B，C，D与图形的对应关系如下：
因此a、b所对应的运算结果为图形的搭配．其中a为B*D，b为A*C.选B.
4．(2021·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
依据上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C.从①②③可以看出，从图②开头每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
5．(2022·高考江西卷)观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C.利用归纳推理，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开头，其结果为前两组结果的和．
6．(2021·湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系：＝，则图(2)所示的图形有体积关系：＝________.
解析：由三棱锥的体积公式V＝Sh及相像比可知，
＝
答案：
7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … …
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
解析：观看数表可知，第n行的第1个数为n，且第n行的数列的公差为n，所以位于第n行第n＋1列的数为n＋n2.
答案：n＋n2
8．(2021·温州高二检测)下面使用类比推理，得出正确结论的是________．
①“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”；
②“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”；
③“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”；
④“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”．
解析：①中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；②中，乘法满足对加法的支配律，但乘法不满足对乘法的支配律；③是正确的；④中，令n＝2明显不成立．
答案：③
9．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解：a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝，
…
通过观看可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.
10．已知椭圆C：＋＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
解：性质：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时(直线PM，PN的斜率分别记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)，由于点M(m，n)在已知双曲线上，
所以n2＝·m2－b2.
同理y2＝·x2－b2，
所以kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
1. 如图，一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它接着按图示在x轴，y轴的平行方始终回运动，且每秒移动一个单位长度，则2 014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为( )
A．(44,10) B．(10,44)
C．(11,44) D．(43,46)
解析：选B.考查粒子运动到关键点(1,1)用时2秒，运动到点(2,2)用时6秒，运动到点(3,3)用时12秒，运动到点(4,4)用时20秒，…，归纳猜想粒子运动到点(n，n)用时n(n＋1)秒．又当n为奇数时，此后x秒粒子运动到点(n，n－x)；当n为偶数时，此后x秒粒子运动到点(n－x，n)(1≤x≤n)．
由于粒子运动到点(44,44)用时44×45＝1 980秒，所以2 014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为(10,44)．
2．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)
解析：①错.4,5是整数，但＝0.8,0.8不是整数；②错．设M由有理数集合Q和元素π组成，则1，π∈M，但是1＋π不属于M；③正确．设a，b∈P，其中一个必定不等于零，设a≠0，则a－a＝0，所以0∈P，＝1，所以1∈P.所以0－1＝－1，－1－1＝－2，－2－1＝－3，….全部负整数都属于P，而负整数有无穷多个，所以③正确；④正确．把数域F＝{a＋b|a，b∈Q}中的改为，，，…，仍是数域，有无穷多个．故应填③④.
答案：③④
3．在平面几何中，争辩正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四周体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
解：类比所得的真命题是：棱长为a的正四周体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.
证明：设M是正四周体PABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.
由于正四周体四个面的面积相等，故有：VPABC＝VMABC＋VMPAB＋VMPAC＋VMPBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)．
而S△ABC＝a2，VPABC＝a3，
故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．
4. 如图，设有双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若△F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积又是多少？
(3)观看以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．
解：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得
r＋r－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，
∴r1r2＝36.
求得S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.
同理可求得若∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3.
(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
证明如下：
令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝r1·r2sin θ.
由双曲线定义及余弦定理，有
②－①得r1·r2＝，
所以S△F1MF2＝＝，
由于0＜θ＜π，0＜＜，
在(0，)内，tan 是增函数．
因此当θ增大时，S△F1MF2＝将减小．
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